2021高考数学一轮复习 第8章 立体几何 第1节 空间几何体的结构及其表面积、体积教学案 理 北师

1第8章立体几何全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式高考在本章一般命制2道小题、1道解答题，分值约占22分．2.考查内容(1)小题主要考查三视图、几何体体积与表面积计算，此类问题属于中档题目；对于球与棱柱、棱锥的切接问题，知识点较整合，难度稍大．(2)解答题一般位于第18题或第19题的位置，常设计两问：第(1)问重点考查线面位置关系的证明；第(2)问重点考查空间角，尤其是二面角、线面角的计算．属于中档题目．3.备考策略从2019年高考试题可以看出，高考对三视图的考查有所降温；对空间几何体的展开、平面图形的折叠、解题中的补体等传统几何思想有所加强.第一节空间几何体的结构及其表面积、体积[最新考纲]1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.4.了解球、棱柱、棱锥、台体的表面积和体积的计算公式．1．简单多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形．2．旋转体的形成2几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线3．三视图与直观图三视图画法规则：长对正、高平齐、宽相等直观图斜二测画法：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.4．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l5．柱体、锥体、台体和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝4πR2V＝43πR3[常用结论]31．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝24S原图形，S原图形＝22S直观图．2．多面体的内切球与外接球常用的结论(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝a2，外接球半径R＝32a.(2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝a2＋b2＋c22.(3)设正四面体的棱长为a，则它的高为H＝63a，内切球半径r＝14H＝612a，外接球半径R＝34H＝64a.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．()(3)菱形的直观图仍是菱形．()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改编1．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括()A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆台、一个圆柱C．两个圆柱、一个圆台D．一个圆柱、两个圆锥D[从较短的底边的端点向另一底边作垂线，两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形，一个矩形，所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱，两个圆锥所组成的几何体，如图：]2．如图所示，长方体ABCD­A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是()4A．棱台B．四棱柱C．五棱柱D．简单组合体C[由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱．]3．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．12πB．323πC．8πD．4πA[由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为23即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π，故选A.]4．已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A．1cmB．2cmC．3cmD．32cmB[S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm)．]5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．163π[由三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个同底等高的圆锥，其体积为π×22×2－13π×22×2＝163π.]考点1空间几何体的结构特征5解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．(3)棱(圆)台是由棱(圆)锥截得的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．1.给出下列命题：(1)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；(2)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；(3)在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；(4)存在每个面都是直角三角形的四面体；(5)棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的个数为()A．2B．3C．4D．5C[(1)不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；(2)正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；(3)正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；(4)正确，如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中的三棱锥C1­ABC，四个面都是直角三角形；(5)正确，由棱台的概念可知．]2．以下命题：(1)以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；(2)以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；(4)一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3B[命题(1)错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题(2)错，因为6这条腰必须是垂直于两底的腰；命题(3)对；命题(4)错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以．]3．下列结论正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线D[A错误．如图①所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．图①图②B错误．如图②，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．](1)概念辨析类的问题常借助反例求解．(2)紧扣结构特征是判断空间几何体的结构特征正误的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后依据题意判定．考点2空间几何体的三视图和直观图1.三视图画法的基本原则长对正，高平齐，宽相等；画图时看不到的线画成虚线．2．由三视图还原几何体的步骤3．直观图画法的规则：斜二测画法．(1)[一题多解]已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.34a2B.38a27C.68a2D.616a2(2)(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．217B．25C．3D．2(1)D(2)B[(1)法一：如图①②所示的实际图形和直观图，由图②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝22O′C′＝68a，所以S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×a×68a＝616a2.法二：S△ABC＝12×a×asin60°＝34a2，又S直观图＝24S原图＝24×34a2＝616a2.故选D.(2)由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为MS2＋SN2＝22＋42＝25.故选B.]图①图②8(1)直观图的面积问题常常有两种解法：一是利用斜二测画法求解，注意“斜”及“二测”的含义；二是直接套用等量关系：S直观图＝24S原图形．(2)解决空间几何体表面上两点距离的最短问题，常借助其侧面展开图．1.(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()ABCDA[由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.]2．某几何体的三视图如图所示，网格纸的小方格是边长为1的正方形，则该几何体中最长棱的棱长是()A.5B.6C.7D.3A[由三视图可知该几何体为一个三棱锥D­ABC，如图，将其置于长方体中，该长方体的底面是边长为1的正方形，高为2.所以AB＝1，AC＝2，BC＝3，CD＝2，DA＝2，BD＝5，因此最长棱为BD，棱长是5.]考点3空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积9几类空间几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(1)(2019·南昌模拟)如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若将该直角梯形绕BC边旋转一周，则所得的几何体的表面积为________．(2)若正四棱锥的底面边长和高都为2，则其表面积为________．(3)圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积为________cm2(结果中保留π)．(4)(2019·安庆模拟)已知一几何体的三视图如图所示，它的左视图与主视图相同，则该几何体的表面积为()A．16＋12πB．32＋12πC．24＋12πD．32＋20π(1)(2＋3)π(2)4＋45(3)1100π(4)A[(1)由图中数据可得：S圆锥侧＝12×π×2×2＝2π，S圆柱侧＝2π×1×1＝2π，S底面＝π×12＝π.所以几何体的表面积S＝S圆锥侧＋S圆柱侧＋S底面＝2π＋2π＋π＝(2＋3)π.(2)因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，如图．由题意知底面正方形的边长为2，正四棱锥的高为2，则正四棱锥的斜高PE＝22＋12＝5.所以该四棱锥的侧面积S＝4×12×2×5＝45，10∴S表＝2×2＋45＝4＋45.(3)如图所示，设圆台的上底周长为C，因为扇环的圆心角是180°，所以C＝π·SA.又C＝2π×10＝20π，所以SA＝20(cm)．同理SB＝40(cm)．所以AB＝SB－SA＝20(cm)．S表＝S侧＋S上底＋S下底＝π(r1＋r2)·AB＋πr21＋πr22＝π(10＋20)×20＋π