福建省师范大学附属中学2020届高三数学上学期期中试题 理

-1-福建省师范大学附属中学2020届高三数学上学期期中试题理试卷说明：（1）本卷共三大题，22小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合{|110}Axx„，集合{|lg1}Bxx„，则AB2.若非零向量a，b满足||||ab，向量2ab与b垂直，则a与b的夹角为3.已知0.21.2512,,2log22abc，则,,abc的大小关系为4.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为5.设}{na是首项为正数的等比数列，公比为q，则“0q”是“对任意的正整数n，A．{|110}xxB．{|110}xxC．{|010}xxD．{|010}xxA．150B．120C．60D．30°A．bacB．cabC．cbaD．bcaA．1.5尺B．2.5尺C．3.5尺D．4.5尺-2-0212nnaa”的6.若1sin42a，则cos22a7.己知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是A.1()sin1xxefxxeB.1()sin1xxefxxeC.1()cos1xxefxxeD.1()cos1xxefxxe8.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36的等腰三角形（另一种是顶角为108的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC中，512BCAC.根据这些信息，可得sin234A.1254B.358C.514D.4589.若x，y满足约束条件220330240xyxyxy，目标函数zaxy仅在点（2，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件A．34B．23C．12D．13A．1(2,)2B．1100,32（-，）（）C．1(0,)2D．11(,)32-3-10.已知平面向量,PAPB满足11,2PAPBPAPB，若1BC，则AC的最大值为11.已知函数231cossin(0,R)222xfxxx.若函数fx在区间,2内没有零点，则的取值范围是12.设函数2e+xfxax(aR)有且仅有两个极值点12xx，(12xx)，则实数a的取值范围是Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：每小题5分,共20分.13.边界在直线,xeyx及曲线1yx上的封闭的图形的面积为．14.16至17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数．后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即=baN=logabN.现在已知2=3a，3=4b，则ab．15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.现要测量如图所示的蓝洞的口A．21B．31C．21D．31A．50,12B．55110,,12612C．50,6D．55110,,12612A．ee,2B．e,2C．e,D．ee,2-4-径A,B两点间的距离，在珊瑚群岛上取两点C，D，测得80CD，135ADB，15BDCDCA，120ACB，则A,B两点的距离为________．16.已知数列{}na的前n项和为nS（*nN），且满足212nnSSnn，若对*1,nnnNaa恒成立，则首项1a的取值范围是_________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）已知ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足66acb，sin6sinBC.（1）求cosA的值；（2）求πsin26A的值.18.（12分）已知数列na的前n项和为nS，221nnSna．（1）求数列na的通项公式；（2）设*214nnbnNa，数列nb的前n项和为nT，证明：1nT.19．（12分）-5-如图，在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc,cosCabsinC.（1）求角B的大小；（2）若,2AD为ABC外一点，2,1DBDC，求四边形ABDC面积的最大值.20．（12分）已知数列}{na满足：12121222nnnnaaaan，*nN.（1）求数列}{na的通项公式；（2）若数列}{nb满足：11b，12nnnnbba，求数列}{nb的通项公式.21．（12分）已知函数21()(1)ln2fxxaxax，aR.（1）讨论()fx的单调性；（2）当0a时，记()fx的最小值为M，证明：1315M.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）-6-在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1cos2sinxtyt（t为参数，0），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为26cos8sin210，已知直线l与曲线C交于不同的两点A,B．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设P(1，2)，求22PAPB的取值范围．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()13fxxx.（1）解不等式()1fxx„；（2）设函数()fx的最小值为c，实数ab满足0a，0b，abc，求证：22111abab….-7-评分标准一、选择题：题号123456789101112答案CBCBCCACADDB二、填空题：13.232e14.215.58016.13(,)44三、解答题:17.解：（1）∵sinB6sinC．由正弦定理得，b6c，…………2分∵a﹣c66b，∴a＝2c，，…………4分，由余弦定理知，cosA2222222bca6cc4c362bc426c26．…………6分（2）∵由（1）知，cosA64．A为三角形内角，∴sinA2101cosA4，……7分∴sin2A=15,4……………………………………8分cos2A=2cosA-21sinA4…………………………9分∴πsin2A6＝sin2Acosπ6cos2Asinπ35168．…………12分18.解：因为221nnSna①所以当1n时，11231Sa，得1=1a.…………………………1分当2n时，11211nnSna②①-②得，1)1()2(2nnnanana…………………………3分即nnaann11，-8-∴132112211311122nnnnnaaaannnaaaaaann，…………………………5分1=1a符合上式.故1.2nna．．．．．．．．．．6分（2）22111114111nnbannnnn．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分∴111111111112233411nTnnn．．．．．．．．．．．．．．．12分19.解：（1）在ABC中，∵cosCabsinC.∴sincossinABsinCC，…………………………1分∴cossinBCsinBsinCCcos,0BsinCsinBsinCsinC，∴cosBsinB，即tan1B，…………………………4分∵0,B∴4B.…………………………6分（2）在BCD中，2,1,BDDC22212212cos54cosBCDD又2A，则ABC为等腰直角三角形，21115cos2244ABCSBCBCBCD，……………8分又12BDCSBDDCsinDsinD，………………………………………9分55cos2444ABDCSDsinDsinD，……………11分当34D时，四边形ABCD的面积最大值，最大值为524.……………12分20.解：（1）1n时11a，…………………………1分-9-12121222nnnnaaaan①23121221nnnaaan2n②①-2×②2nan2n…………………………4分11a满足上式，故2nan.…………………………5分（2）122nnnbbn，有121232111202322nnnbbbbbbnn累加整理12111202322nnbnn，①…………………………7分23221202322nnbnn，②②-①得2212121232425212nnnnbnnn11b满足上式，故425nnbn.…………………………12分21.（1）因为fx的定义域为0,，又1+1xxaafxxaxx，…………………………1分所以当0a时，0fx＞，fx在0,单调递增．当0a＜时，若0xa＜＜时，0fx＜，fx在0,a单调递减；若xa＞时，0fx＞，fx在,a单调递增．综上，当0a时，fx在0,单调递增；当0a＜时，fx在0,a上单调递减，在,a单调递增．…………………………4分（2）当0a＜时，由（1）知，2min1ln2fxfaaaaa，…………………………5分令21ln2gxxxxx，0x＜，则lngxxx，令lnhxxx，0x＜，则1110xhxxx＜，-10-所以hx在,0单调递减，又11102hee＞，1110hee＜，所以存在011,xee，使得00hx，且00ln0xx，所以当0,xx时，0gx＞，gx单调递增；当0,0xx时，0gx＜，gx单调递减；所以当0xx时，gx取得最大值，因为22220000000000111ln222gxxxxxxxxxx20