2021版高考数学一轮复习 第七章 不等式 第3讲 二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题教案 文

1第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题一、知识梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式(组)表示区域Ax＋By＋C0(0)直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0(≤0)包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝x＋2y线性目标函数关于x，y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解2线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题常用结论1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax＋By＋C0或Ax＋By＋C0，则有(1)当B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；(2)当B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．2．最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．二、习题改编(必修5P91练习T1改编)若x，y满足x≤2，y≥－1，4x－3y＋1≥0，则y－x的最小值为，最大值为．答案：－31一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．()(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×二、易错纠偏常见误区(1)不明确目标函数的最值与等值线截距的关系；(2)不理解目标函数的几何意义；(3)平面区域内点满足关系不理解．1．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是．3解析：因为直线2x－3y＋6＝0的上方区域可以用不等式2x－3y＋6＜0表示，所以由点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方得－4－3t＋6＜0，解得t＞23.答案：23，＋∞2．设x，y满足约束条件y＋2≥0，x－2≤0，2x－y＋1≥0.则z＝x＋y的最大值与最小值的比值为．解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z＝x＋y可化为y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z经过A点时，z最大，联立x－2＝0，2x－y＋1＝0.得x＝2，y＝5，故A(2，5)，此时z＝7；当直线y＝－x＋z经过B点时，z最小，联立y＋2＝0，2x－y＋1＝0，得x＝－32，y＝－2，故B－32，－2，此时z＝－72，故最大值与最小值的比值为－2.答案：－23．已知x，y满足条件x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3，则z＝y－1x＋3的最大值为．解析：作出可行域如图，问题转化区域上哪一点与点M(－3，1)连线斜率最大，观察知点A－52，52，使kMA最大，zmax＝kMA＝52－1－52＋3＝3.4答案：3二元一次不等式(组)表示的平面区域(典例迁移)(1)不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域的面积等于()A.32B.23C.43D．34(2)设不等式组x≥1，x－y≤0，x＋y≤4表示的平面区域为M，若直线y＝kx－2上存在M内的点，则实数k的取值范围是()A．[1，3]B．(－∞，1]∪[3，＋∞)C．[2，5]D．(－∞，2]∪[5，＋∞)【解析】(1)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，A0，43，B(1，1)，C(0，4)，则△ABC的面积为12×1×83＝43.故选C.(2)作出不等式组x≥1，x－y≤0，x＋y≤4表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为直线l：y＝kx－2的图象过定点A(0，－2)，且斜率为k，由图知，当直线l过点B(1，3)时，k取最5大值3＋21－0＝5，当直线l过点C(2，2)时，k取最小值2＋22－0＝2，故实数k的取值范围是[2，5]．【答案】(1)C(2)C【迁移探究】(变问法)本例(2)中条件不变，求平面区域M的面积，结果如何？解：可知平面区域M为等腰直角三角形，可求出B(1，3)和C(2，2)，所以|BC|＝2，所以S＝12×2×2＝1.二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是()6解析：选C.(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0，即x－2y＋1≥0，x＋y－3≤0或x－2y＋1≤0，x＋y－3≥0，与选项C符合．故选C.2．若不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0，x＋y≤a所表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()A．a≥43B．0a≤1C．1≤a≤43D．0a≤1或a≥43解析：选D.不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0所表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由y＝x，2x＋y＝2，得A23，23；由y＝0，2x＋y＝2，得B(1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x＋y＝a中的a的取值范围是0a≤1或a≥43.求线性目标函数的最值(范围)(多维探究)7角度一求线性目标函数的最值(范围)(2019·高考全国卷Ⅱ)若变量x，y满足约束条件2x＋3y－6≥0，x＋y－3≤0，y－2≤0，则z＝3x－y的最大值是．【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x－y＝0，并平移，当直线经过点(3，0)时，直线在y轴上的截距最小，此时z＝3x－y取得最大值，且zmax＝9.【答案】9(1)求目标函数的最值形如z＝ax＋by(b≠0)的目标函数，可变形为斜截式y＝－abx＋zb(b≠0)．①若b0，当直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最大，在y轴上截距最小时，z值最小；②若b0，当直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最小，在y轴上的截距最小时，z值最大．(2)求目标函数最优解的常用方法如果可行域是一个多边形，那么一般在某顶点处使目标函数取得最优解，到底哪个顶点为最优解，可有两种方法判断：①将可行域各顶点的坐标代入目标函数，通过比较各顶点函数值大小即可求得最优解；②将目标函数的直线平移，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．角度二求非线性目标函数的最值(范围)实数x，y满足x－y＋1≤0，x≥0，y≤2.8(1)若z＝yx，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围．【解】由x－y＋1≤0，x≥0，y≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在，即zmax不存在)．由x－y＋1＝0，y＝2，得B(1，2)，所以kOB＝21＝2，即zmin＝2，所以z的取值范围是[2，＋∞)．(2)z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．因此x2＋y2的最小值为OA2，最大值为OB2.由x－y＋1＝0，x＝0，得A(0，1)，所以OA2＝(02＋12)2＝1，OB2＝(12＋22)2＝5，所以z的取值范围是[1，5]．【迁移探究1】(变问法)本例条件不变，求目标函数z＝y－1x－1的取值范围．解：z＝y－1x－1可以看作过点P(1，1)及(x，y)两点的直线的斜率．所以z的取值范围是(－∞，0]．【迁移探究2】(变问法)本例条件不变，求目标函数z＝x2＋y2－2x－2y＋3的最值．解：z＝x2＋y2－2x－2y＋3＝(x－1)2＋(y－1)2＋1，而(x－1)2＋(y－1)2表示点P(1，1)与Q(x，y)的距离的平方PQ2，9PQ2max＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，PQ2min＝|1－1＋1|12＋（－1）22＝12，所以zmax＝2＋1＝3，zmin＝12＋1＝32.常见两类非线性目标函数的几何意义(1)x2＋y2表示点(x，y)与原点(0，0)间的距离，（x－a）2＋（y－b）2表示点(x，y)与点(a，b)间的距离；(2)yx表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．角度三求参数值或取值范围(2020·陕西咸阳模拟检测(一))若实数x，y满足2x－y＋1≥0，x＋y≥0，x≤0，若z＝ax－y(a∈R)的最小值是－1，则a的取值范围是．【解析】画出可行域如图所示(阴影部分)，目标函数对应的直线为y＝ax－z，当截距－z最大时，目标函数z取得最小值，因为z＝ax－y(a∈R)的最小值是－1，所以在A(0，1)处取得最小值．由图象可知，直线y＝ax－z的斜率a≤2，因为当a2时，目标函数在B点取得最小值，所以a的取值范围是(－∞，2]．【答案】(－∞，2]求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．101．(2019·高考天津卷)设变量x，y满足约束条件x＋y－2≤0，x－y＋2≥0，x≥－1，y≥－1，则目标函数z＝－4x＋y的最大值为()A.2B.3C.5D．6解析：选C.法一：作出可行域如图中阴影部分所示．由z＝－4x＋y得y＝4x＋z，结合图形可知当直线y＝4x＋z过点A时，z最大，由x－y＋2＝0，x＝－1，得A(－1，1)，故zmax＝－4×(－1)＋1＝5.故选C.法二：易知目标函数z＝－4x＋y的最大值在可行域的顶点处取得，可行域的四个顶点分别是(－1，1)，(0，2)，(－1，－1)，(3，－1)．当直线y＝4x＋z经过点(－1，1)时，z＝5；当直线y＝4x＋z经过点(0，2)时，z＝2；当直线y＝4x＋z经过点(－1，－1)时，z＝3；当直线y＝4x＋z经过点(3，－1)时，z＝－13.所以zmax＝5，故选C.2．(2020·福州市质量检测)已知点A(0，2)，动点P(x，y)的坐标满足条件x≥0y≤x，则|PA|的最小值是．解析：可行域为如图所示的阴影部分，|PA|表示可行域上的点到点A(0，2)的距离，所以|PA|的最小值转化成点A到直线y＝x的距离，所以|PA|min＝|－2|2＝2.11答案：23．(2020·安徽五校联盟第二次质检)若x，y满足约束条件x＋y≥1x＋2y≤2，x≤a目标函数z＝2x＋3y的最小值为2，则a＝．解析：作出不等式组x＋y≥1x＋2y≤2x≤a表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x＋3y＝0，平移直线2x＋3y＝0，显然过A(a，1－a)时，z＝2x＋3y取得最小值，则2a＋3(1－a)＝2，a＝1.答案：1线性规划的实际应用问