福建省泉州第十六中学2020届高三数学上学期期中试题 理

-1-福建省泉州第十六中学2020届高三数学上学期期中试题理考试时间：120分钟满分：150分2019.11.8第I卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确选项）1．设全集为R，集合{02}Axx，{1}Bxx，则RACBI（）A．{01}xxB．{01}xxC．{12}xxD．{02}xx2．已知集合{|01,}AxxxN，则集合A的子集个数为（）A．1B．2C．3D．43．在ABC△中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EBuur（）A．3144ABACuuuruuurB．1344ABACuuuruuurC．3144ABACuuuruuurD．1344ABACuuuruuur4．已知向量(1,7)m与向量(tan,18tan)n平行，则tan2的值为（）A．43B．43C．34D．345．已知函数3()sin(2)2fxx（xR)，下面结论错误的是（)A．函数()fx的最小正周期为B．函数()fx是偶函数C．函数()fx的图象关于直线4x对称D．函数()fx在区间0,2上是增函数6．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3a，6b，6A，则B（）A．4B．4或34C．3或23D．37．已知命题:p对任意480,,loglogxxx，命题:q存在xR，使得tan13xx，则下列命题为真命题的是（）-2-A．pqB．pqC．pqD．pq8．已知()fx是定义在R上的偶函数，且在区间(,0)上单调递增，若实数a满足|1|(2)(2)aff，则a的取值范围是（）A．1(,)2B．1(,)23(,)2C．13(,)22D．3(,)29．函数y=2|x|sin2x的图像可能是（）10．已知定义在R上的函数()fx满足：(1)yfx的图象关于(1,0)点对称，且当0x时恒有31()()22fxfx，当[0,2)x时，()1xfxe，则(2016)(2015)ff（）A．1eB．1eC．1eD．1e11．已知a为常数，函数32()3(3)1xfxaxaxxe在(0,2)内有两个极值点，则实数a的取值范围为（）A．(,)3eB．2(,)3eeC．2(,)36eeD．(,)3e12．已知21()ln(0)2fxaxxa，若对任意两个不等的正实数12,xx，都有1212()()2fxfxxx恒成立，则实数a的取值范围是（）A．(0,1]B．(1,)C．(0,1)D．[1,)第II卷（非选择题共90分）二、填空题（每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的横线．．．．．．．．上）-3-13．已知3,2,1,21,21,1,2，若幂函数xxf)(为奇函数，且在0（，）上单调递减，则α=_________14．已知曲线3lnyxx，则其在点(1,3)处的切线方程是_______________15．在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（2，0），E，F是y轴上的两个动点，且|EFuuv|=2，则AEuuuv·BFuuv的最小值为__________．16．若函数32()21()fxxaxaR在(0,)内有且只有一个零点，则()fx在[1,1]上的最大值与最小值的和为__________三、解答题：（本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）17．（本小题满分12分）设常数aR，函数fx（）xxa2cos22sin（1）若fx（）为偶函数，求a的值；（2）若4f〔〕31，求方程12fx（）在区间［，］上的解.18．（本小题满分12分）记(),()fxgx分别为函数(),()fxgx的导函数．若存在0xR，满足00()()fxgx且00()()fxgx，则称0x为函数()fx与()gx的一个“S点”．（1）证明：函数()fxx与2()22gxxx不存在“S点”；（2）若函数2()1fxax与()lngxx存在“S点”，求实数a的值19．（本小题满分12分）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，(sin,sinsin)mABC，(3,)nabbc，且mn．（1）求角C的值；（2）若ABC为锐角三角形，且1c，求3ab的取值范围．20.（本小题满分12分）已知函数1()lnfxxaxx．（1）讨论()fx的单调性；-4-（2）若()fx存在两个极值点12,xx，证明：12122fxfxaxx．21．（本小题满分12分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中%0100xx的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为10030,9018002300,30)(xxxxxf（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间gx（）的表达式；讨论gx（）的单调性，并说明其实际意义.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线1C的方程为||2ykx.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22cos30.（1）求2C的直角坐标方程；（2）若1C与2C有且仅有三个公共点，求1C的方程.泉州第十六中学2019年秋季期中考试高三数学（理科）试卷参考答案与评分标准一、选择题（12小题，每题5分，共60分）题号123456789101112-5-二、填空题（4小题，每题5分，共20分）13．114．210xy15．316．3三、解答题：（本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）17.解：（1）11cos22sin)(2xxaxf=12cos2sinxxa，1)2cos()2sin()(xxaxf12cos2sinxxa当)(xf为偶函数时：)()(xfxf，则aa，解得0a。（2）4cos22sin)4(2af，由题意131)4(af，3a，xxxf2cos22sin3)(12cos2sin3xx1)62sin(2x，当],[x时，即]613,611[62x，令21)(xf,则21162sin2x，解得：2413,245,2411x或2419x18.解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．…………1分由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得……………………………………2分222122xxxx，此方程组无解，……………………………………4分因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．……………………………………5分（2）函数21fxax（），()lngxx，……………………………………6分则12fxaxgxx（），（）．……………………………………7分设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），得答案BDACCBDCDACD-6-200001ln12axxaxx，即200201ln21axxax，（*）……………………………………10分得01ln2x，即120ex，则1221e22(e)a．当e2a时，120ex满足方程组（*），即0x为f（x）与g（x）的“S”点．因此，a的值为e2．……………………………………12分19.解：（1）由(sin,sinsin)mABC,(3,)nabbc得sin3sinsinC0abbc，……………………………………1分即30aabbcbc，故2223abcab，……………………3分所以2cosC3abab,3cosC2，……………………………………4分由C0,,C6．………………………………………………………………5分（2）由（1）得56，即56，………………………………………6分又C为锐角三角形，故506202，从而32，………………7分由1c，所以1sinsinsin6ab，故2sina,2sinb，所以323sin2sin23sin2sin6ab23sin2sincos2cossin3sincos2sin666．……9分由32，所以663，所以13sin262，………………………………………………………………11分-7-即31,3ab．………………………………………………………………12分20.解:（1）()fx的定义域为(0,)，22211()1axaxfxxxx.．……1分（i）若2a，则()0fx，当且仅当2a，1x时()0fx，所以()fx在(0,)单调递减.………………………………………………………………3分（ii）若2a，令()0fx得，242aax或242aax.……4分当2244(0,)(,)22aaaaxU时，()0fx；………………………5分当2244(,)22aaaax时，()0fx.………………………6分所以()fx在2244(0,),(,)22aaaa单调递减，在2244(,)22aaaa单调递增.（2）由（1）知，()fx存在两个极值点当且仅当2a.由于()fx的两个极值点12,xx满足210xax，所以121xx，…………………7分不妨设12xx，则21x.由于12121221212121222()()lnlnlnln2ln11221fxfxxxxxxaaaxxxxxxxxxx，所以1212()()2fxfxaxx等价于22212ln0xxx.…………………10分设函数1()2lngxxxx，由（1）知，()gx在(0,)单调递减，又(1)0g，从而当(1,)x时，()0gx.所以22212ln0xxx，即1212()()2fxfxaxx.…………………12分21.（1）①当300x时，自驾群体人均通勤时间为30分钟，…………………1分-8-公交群体人均通勤时间为40分钟，此时公交群体人均通勤时间大于自驾群体人均通勤时间。②当10030x时：…………………12分…………………12分令40)(xf，得409018002xx。………………………………………………3分解得：200x或10045x，所以当10045x时，自驾群体的人均通勤时间大于40分钟，…………………5分此时公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间。综上所述，当10045x时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间。（2）当300x时，401.0%)1(40%30)(xxxxg，…………………6分当10030x时，%)9018002(