2021版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第3讲 平面向量的数量积及应用举例教案 文 新人教A版

1第3讲平面向量的数量积及应用举例一、知识梳理1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．(2)范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°．[注意]当a与b同向时，θ＝0°；a与b反向时，θ＝180°；a与b垂直时，θ＝90°.2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积[注意]投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．3．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，a·b＝x1x2＋y1y2.2结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0常用结论(1)两向量a与b为锐角⇔a·b＞0且a与b不共线．(2)两向量a与b为钝角⇔a·b＜0且a与b不共线．(3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.(4)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(5)a与b同向时，a·b＝|a||b|.(6)a与b反向时，a·b＝－|a||b|.二、习题改编(必修4P108A组T6改编)已知a·b＝－122，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为()A．12B．6C．33D．3解析：选B.a·b＝|a|·|b|cos135°＝－122，所以|b|＝－1224×－22＝6.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．()(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.()(4)(a·b)c＝a(b·c)．()(5)两个向量的夹角的范围是0，π2.()(6)若a·b0，则a和b的夹角为锐角；若a·b0，则a和b的夹角为钝角．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×(5)×(6)×3二、易错纠偏常见误区(1)没有找准向量的夹角致误；(2)不理解向量的数量积的几何意义致误；(3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误．1．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则BA→·AC→的值为．解析：在△ABC中，由余弦定理得cosA＝AC2＋AB2－BC22×AC×AB＝22＋32－（10）22×2×3＝14.所以BA→·AC→＝|BA→||AC→|cos(π－A)＝－|BA→||AC→|·cosA＝－3×2×14＝－32.答案：－322．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为．解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.答案：－23．已知向量a与b的夹角为π3，|a|＝|b|＝1，且a⊥(a－λb)，则实数λ＝．解析：由题意，得a·b＝|a||b|cosπ3＝12，因为a⊥(a－λb)，所以a·(a－λb)＝|a|2－λa·b＝1－λ2＝0，所以λ＝2.答案：2平面向量数量积的运算(师生共研)(一题多解)(2019·高考天津卷)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝23，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则BD→·AE→＝．【解析】法一：在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2，则BD→·AE→＝(AD→－AB→)·(AB→＋BE→)＝AD→·AB→＋AD→·BE→－AB2→－AB→·BE→＝5×23×cos30°＋5×2×cos180°－12－23×2×cos150°＝15－10－12＋6＝－1.法二：在△ABD中，由余弦定理可得4BD＝25＋12－2×5×23×cos30°＝7，所以cos∠ABD＝12＋7－252×23×7＝－2114，则sin∠ABD＝5714.设BD→与AE→的夹角为θ，则cosθ＝cos(180°－∠ABD＋30°)＝－cos(∠ABD－30°)＝－cos∠ABD·cos30°－sin∠ABD·sin30°＝－714，在△ABE中，易得AE＝BE＝2，故BD→·AE→＝7×2×－714＝－1.【答案】－1求向量a，b的数量积a·b的两种方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.当已知向量是非坐标形式时，若图形适合建立平面直角坐标系时，可建立坐标系，运用坐标法求解．1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知AB→＝(2，3)，AC→＝(3，t)，|BC→|＝1，则AB→·BC→＝()A．－3B．－2C．2D．3解析：选C.因为BC→＝AC→－AB→＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，因为|BC→|＝1，所以1＋（t－3）2＝1，所以t＝3，所以BC→＝(1，0)，所以AB→·BC→＝2×1＋3×0＝2，故选C.2．(一题多解)(2020·湖南省五市十校联考)在直角三角形ABC中，∠C＝π2，AB＝4，AC＝2，若AD→＝32AB→，则CD→·CB→＝()A．－18B．－63C．18D．63解析：选C.通解：由∠C＝π2，AB＝4，AC＝2，得CB＝23，CA→·CB→＝0.CD→·CB→＝(CA→＋AD→)·CB→＝CA→·CB→＋32AB→·CB→＝32(CB→－CA→)·CB→＝32CB→2＝18，故选C.5优解一：如图，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则C(0，0)，A(2，0)，B(0，23)．由题意得∠CBA＝π6，又AD→＝32AB→，所以D＝(－1，33)，则CD→·CB→＝(－1，33)·(0，23)＝18，故选C.优解二：因为∠C＝π2，AB＝4，AC＝2，所以CB＝23，所以AB→在CB→上的投影为23，又AD→＝32AB→，所以AD→在CB→上的投影为32×23＝33，则CD→在CB→上的投影为33，所以CD→·CB→＝|CB→|·|CD→|cos〈CD→，CB→〉＝23×33＝18，故选C.平面向量数量积的应用(多维探究)角度一求两平面向量的夹角(1)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D．5π6(2)已知向量AB→＝(x，1)(x＞0)，AC→＝(1，2)，|BC→|＝5，则AB→，AC→的夹角为()A.2π3B.π6C.π4D．π3【解析】(1)法一：由题意得，(a－b)·b＝0⇒a·b＝|b|2，所以|a||b|·cosa，b＝|b|2，因为|a|＝2|b|，所以2|b|2cosa，b＝|b|2⇒cosa，b＝12，所以a，b＝π3，故选B.法二：如图，设OA→＝a，OB→＝b，则BA→＝a－b，所以B＝π2，|OA→|＝2|OB→|，所以∠AOB＝6π3，即a，b＝π3.(2)因为BC→＝AC→－AB→＝(1－x，1)，所以|BC→|2＝(1－x)2＋1＝5，即x2－2x－3＝0，解得x＝3或x＝－1(舍)．设AB→，AC→的夹角为θ，则cosθ＝AB→·AC→|AB→||AC→|.