2021版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第7讲 抛物线教案 文 新人教A版

1第7讲抛物线一、知识梳理1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中|PF|＝x0＋p2|PF|＝－x0＋p2|PF|＝y0＋p2|PF|＝－y0＋p22P(x0，y0))常用结论与焦点弦有关的常用结论(以图为依据)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ(θ为直线AB的倾斜角)．(3)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(4)以AB为直径的圆与准线相切．(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．(6)过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p(通径)．二、习题改编1．(选修1­1P58例1(2)改编)若抛物线的焦点是F0，－12，则抛物线的标准方程为．答案：x2＝－2y2．(选修1­1P59练习T2改编)抛物线y2＋4x＝0的准线方程．答案：x＝13．(选修1­1P59练习T3(2)改编)抛物线y2＝12x上与焦点的距离等于6的点的坐标是．答案：(3，±6)一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()(3)若一抛物线过点P(－2，3)，则其标准方程可写为y2＝2px(p0)．()3(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×二、易错纠偏常见误区(1)不注意抛物线方程的标准形式；(2)忽视p的几何意义．1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－xB．x2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－8y解析：选D.设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.2．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是．解析：由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p0)，则p2＝2，所以p＝22，所以抛物线方程为y2＝±42x.答案：y2＝±42x抛物线的定义(典例迁移)(1)(2020·安徽五校联盟第二次质检)已知抛物线C：x2＝2py(p0)的焦点为F，点Px0，12在C上，且|PF|＝34，则p＝()A.14B.12C.34D．1(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为．【解析】(1)抛物线的准线方程为y＝－p2，因为Px0，12在抛物线上，所以点P到准线4的距离d＝12＋p2＝|PF|＝34，则p＝12，故选B.(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.【答案】(1)B(2)4【迁移探究1】(变条件)若将本例(2)中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．解：由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝16＋4＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为25.【迁移探究2】(变设问)若本例(2)条件不变，求P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是．解析：由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离，所以点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.答案：2抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.1．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()5A.34B．1C.54D．74解析：选C.如图所示，设抛物线的准线为l，AB的中点为M，作AA1⊥l于点A1，BB1⊥l于点B1，MM1⊥l于点M1，由抛物线的定义知p＝12，|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，则点M到y轴的距离为|MM1|－p2＝12(|AA1|＋|BB1|)－14＝54.故选C.2．(2020·沈阳市质量监测(一))抛物线y2＝6x上一点M(x1，y1)到其焦点的距离为92，则点M到坐标原点的距离为．解析：由y2＝6x，知p＝3，由焦半径公式得x1＋p2＝92，即x1＝3.代入得y21＝18，则|MO|＝x21＋y21＝33(O为坐标原点)，故填33.答案：33抛物线的标准方程及性质(师生共研)(1)(2020·陕西榆林二模)已知抛物线y2＝2px(p0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大12，则抛物线的标准方程为()A．y2＝xB．y2＝2xC．y2＝4xD．y2＝8x(2)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为()A．2B．4C．6D．8【解析】(1)抛物线y2＝2px(p0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大12，6由抛物线的定义可得xM＋p2＝xM＋12，所以p＝1，所以抛物线方程为y2＝2x.故选B.(2)由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，由|AB|＝42，|DE|＝25，可取A4p，22，D－p2，5，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得16p2＋8＝p24＋5，得p＝4，故选B.【答案】(1)B(2)B(1)求抛物线标准方程的方法①先定位：根据焦点或准线的位置；②再定形：即根据条件求p.(2)抛物线性质的应用技巧①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程；②要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．1．若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标准方程为．解析：令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.所以抛物线的焦点是(4，0)或(0，－2)，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.答案：y2＝16x或x2＝－8y2．(2020·沈阳质量检测(一))已知正三角形AOB(O为坐标原点)的顶点A，B在抛物线y2＝3x上，则△AOB的边长是．解析：如图，设△AOB的边长为a，则A32a，12a，因为点A在抛物线y2＝3x上，所以14a2＝3×32a，所以a＝63.答案：633．(2020·东北四市模拟)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为．7解析：由题意知x2＝12y，则F0，18，设P(x0，2x20)，则|PF|＝x20＋2x20－182＝4x40＋12x20＋164＝2x20＋18，所以当x20＝0时，|PF|min＝18.答案：18直线与抛物线的位置关系(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若AP→＝3PB→，求|AB|.【解】设直线l：y＝32x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由题设得F34，0，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋32，由题设可得x1＋x2＝52.由y＝32x＋t，y2＝3x可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－12（t－1）9.从而－12（t－1）9＝52，得t＝－78.所以l的方程为y＝32x－78.(2)由AP→＝3PB→可得y1＝－3y2.由y＝32x＋t，y2＝3x可得y2－2y＋2t＝0.所以y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.代入C的方程得x1＝3，x2＝13.8故|AB|＝4133.解决直线与抛物线位置关系问题的方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[注意]涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．1．已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线方程为()A．x2＝32yB．x2＝6yC．x2＝－3yD．x2＝3y解析：选D.设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．由x2＝ay，y＝2x－2，消去y得x2－2ax＋2a＝0，所以x1＋x22＝2a2＝3，即a＝3，所以所求的抛物线方程是x2＝3y.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FM→·FN→＝()A．5B．6C．7D．8解析：选D.法一：过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y＝23(x＋2)，由y＝23（x＋2），y2＝4x，得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以x＝1，y＝2或x＝4，y＝4，不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以FM→＝(0，2)，FN→＝(3，4)，所以FM→·FN→＝8.故选D.9法二：过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y＝23(x＋2)，由y＝23（x＋2），y2＝4x，得x2－5x＋4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y10，y20，根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1，0)，所以FM→＝(x1－1，y1)，FN→＝(x2－1，y2)，所以FM→·FN→＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4x1x2＝4－5＋1＋8＝8.故选D.3．过点(－2，1)斜率为k的直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则由k的值组成的集合为．解析：设l的方程为y－1＝k(x＋2)，由方程组y＝kx＋（2k＋1），y2＝4x，得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0，①当k＝0时，y＝1，此时x＝14，l与抛物线仅有一个公共点14，1；②当k≠0时，由Δ＝－16(2k2＋k－1)＝0，得k＝－1或k＝12，所以k的值组成的集合为0，－1，12.答案：0，－1，12核心素养系列19数学抽象——活用抛物线焦点弦的四个结论数学抽象素养水平表现为能够在得到的数学结论的基础上形成新命题，能够针对具体的问题运用数学方法解决问题．本课时抛物线的焦点弦问题的四个常用结论