2021版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第1讲 变化率与导数、导数的计算教案 文 新人教A

1第1讲变化率与导数、导数的计算一、知识梳理1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ΔyΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx．[提醒]f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝f（x＋Δx）－f（x）Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a0且a≠1)f′(x)＝axlna2f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(x0，a0且a≠1)f′(x)＝1xlnaf(x)＝lnx(x0)f′(x)＝1x3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(3)f（x）g（x）′＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g（x）]2(g(x)≠0)．[提醒]求导常见易错点：①公式(xn)′＝nxn－1与(ax)′＝axlna相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：f（x）g（x）′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）[g（x）]2，(cosx)′＝sinx.常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数．2．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．二、习题改编1．(选修1­1P85A组T5改编)已知函数f(x)＝2xf′(1)＋xlnx，则f′(1)＝()A．eB．1C．－1D．－e答案：C2．(选修1­1P85A组T6改编)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为()A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x解析：选D.因为函数f(x)是奇函数，所以a－1＝0，得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，f(0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)x，即y＝x.故选D.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．()3(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．()(5)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×二、易错纠偏常见误区(1)混淆平均变化率与导数的区别；(2)导数的运算法则运用不正确．1．函数f(x)＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为，在x＝2处的导数为．解析：函数f(x)＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为22－122－1＝3；因为f′(x)＝2x，所以f(x)在x＝2处的导数为2×2＝4.答案：342．函数y＝lnxex的导函数为．解析：y′＝1xex－exlnx（ex）2＝1－xlnxxex.答案：y′＝1－xlnxxex导数的运算(多维探究)角度一求已知函数的导数求下列函数的导数：(1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋1x.【解】(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝lnx＋1x′＝(lnx)′＋1x′＝1x－1x2.4[注意]求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．角度二求抽象函数的导数值已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，则f′(2)＝．【解析】因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋1x，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋12＝3f′(2)＋92，所以f′(2)＝－94.【答案】－94对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．1．下列求导运算正确的是()A.1lnx′＝xB．(x2ex)′＝2x＋exC．(xcosx)′＝－sinxD．x－1x′＝1＋1x2解析：选D.对于A：1lnx′＝－1ln2x·(lnx)′＝－1xln2x，对于B：(x2ex)′＝(x2＋2x)ex，对于C：(xcosx)′＝cosx－xsinx，对于D：x－1x′＝1＋1x2.2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝()A．2B．45C．6D．8解析：选C.由已知得，f′(x)＝6x＋2f′(2)，令x＝2，得f′(2)＝－12.再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝30－24＝6.3．求下列函数的导数：(1)y＝x(lnx＋cosx)；(2)y＝sinx＋xx；(3)y＝xlnx.解：(1)y′＝lnx＋cosx＋x1x－sinx＝lnx＋cosx－xsinx＋1.(2)y′＝（cosx＋1）x－（sinx＋x）x2＝xcosx－sinxx2.(3)y′＝12·1xlnx＋x·1x＝2＋lnx2x.导数的几何意义(多维探究)角度一求切线方程(2020·湖南省湘东六校联考)已知曲线f(x)＝ex＋x2，则曲线在(0，f(0))处的切线与坐标轴围成的图形的面积为．【解析】由题意，得f′(x)＝ex＋2x，所以f′(0)＝1.又f(0)＝1，所以曲线在(0，f(0))处的切线方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0，所以该切线与x，y轴的交点分别为(－1，0)，(0，1)，所以该切线与坐标轴围成的图形的面积为12×1×1＝12.【答案】12求曲线切线方程的步骤(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率．(2)由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．[注意]“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．角度二求切点坐标若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标6是．【解析】设切点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝lnx＋1，所以切线的斜率k＝lnx0＋1，由题意知k＝2，得x0＝e，代入曲线方程得y0＝e.故点P的坐标是(e，e)．【答案】(e，e)【迁移探究】(变条件)若本例变为：若曲线y＝xlnx上点P处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，则该切线的方程为．解析：设切点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝lnx＋1，由题意得lnx0＋1＝1，所以lnx0＝0，x0＝1，即点P(1，0)，所以切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.答案：x－y－1＝0求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．角度三已知切线方程(或斜率)求参数值(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1，b＝－1【解析】因为y′＝aex＋lnx＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，与切线方程y＝2x＋b对照，可得ae＋1＝2，b＝－1，解得a＝e－1，b＝－1.故选D.【答案】D处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．1．(2019·高考全国卷Ⅱ)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为()A．x－y－π－1＝0B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0D．x＋y－π＋1＝07解析：选C.依题意得y′＝2cosx－sinx，y′|x＝π＝(2cosx－sinx)|x＝π＝2cosπ－sinπ＝－2，因此所求的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0，故选C.2．如图，已知直线l是曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线，则直线l的方程是；f(2)＋f′(2)的值为．解析：由图象可得直线l经过点(2，3)和(0，4)，则直线l的斜率为k＝4－30－2＝－12，可得直线l的方程为y＝－12x＋4，即为x＋2y－8＝0；由导数的几何意义可得f′(2)＝－12，则f(2)＋f′(2)＝3－12＝52.答案：x＋2y－8＝0523．(2020·郑州市第一次质量预测)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)的图象与直线x－y＋1＝0相切，则实数a的值为．解析：设直线x－y＋1＝0与函数f(x)＝lnx－ax的图象的切点为P(x0，y0)，因为f′(x)＝1x－a，所以由题意，得x0－y0＋1＝0f′（x0）＝1x0－a＝1f（x0）＝lnx0－ax0＝y0，解得a＝1e2－1.答案：1e2－1核心素养系列7数学运算——求曲线的切线方程数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．已知曲线y＝13x3上一点P2，83，则过点P的切线方程为．【解析】(1)当P为切点时，由y′＝13x3′＝x2，8得y′|x＝2＝4，即过点P的切线方程的斜率为4.则所求的切线方程是y－83＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0；(2)当P点不是切点时，设切点为Q(x0，y0)，则切线方程为y－13x30＝x20(x－x0)，因为切线过点P2，83，把P点的坐标代入切线方程，求得x0＝－1或x0＝2(即点P，舍去)，所以切点为Q－1，－13，即所求切线方程为3x－3y＋2＝0.综上所述，过点P的切线方程为12x－3y－16＝0或3x－3y＋2＝0.【答案】12x－3y－16＝0或3x－3y＋2＝0求曲线的切线问题时，要明晰所运算的对象(切线)涉及的点是“在”还是“过”，然后利用求切线方程的方法进行求解．(1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率．(2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，故应先设切点，求切点坐标．1．(2019·高考江苏