（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第五章 平面向量、复数 2 第2讲 平面向量基本定理及坐标

1第2讲平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．(2)基底：不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21．(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2．3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．[提醒]当且仅当x2y2≠0时，a∥b与x1x2＝y1y2等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．()(2)在△ABC中，向量AB→，BC→的夹角为∠ABC.()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．()(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成x1x2＝y1y2.()(5)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√[教材衍化]21．(必修4P99例8改编)若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为()A．(2，2)B．(3，－1)C．(2，2)或(3，－1)D．(2，2)或(3，1)解析：选D.由题意得P1P→＝13P1P2→或P1P→＝23P1P2→，P1P2→＝(3，－3)．设P(x，y)，则P1P→＝(x－1，y－3)，当P1P→＝13P1P2→时，(x－1，y－3)＝13(3，－3)，所以x＝2，y＝2，即P(2，2)；当P1P→＝23P1P2→时，(x－1，y－3)＝23(3，－3)，所以x＝3，y＝1，即P(3，1)．故选D.2．(必修4P97例5改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．解析：设D(x，y)，则由AB→＝DC→，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即4＝5－x，1＝6－y，解得x＝1，y＝5.答案：(1，5)3．(必修4P119A组T9改编)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则mn＝________．解析：由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得2m－n4＝3m＋2n－1，所以mn＝－12.答案：－12[易错纠偏](1)忽视基底中基向量不共线致错；(2)弄不清单位向量反向的含义出错；(3)不正确运用平面向量基本定理出错．1．给出下列三个向量：a＝(－2，3)，b＝1，－32，c＝(－1，1)．在这三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为________．解析：易知a∥b，a与c不共线，b与c不共线，所以能构成基底的组数为2.答案：22．已知A(－5，8)，B(7，3)，则与向量AB→反向的单位向量为________．3解析：由已知得AB→＝(12，－5)，所以|AB→|＝13，因此与AB→反向的单位向量为－113AB→＝－1213，513.答案：－1213，5133.如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若AE→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ的值为________．解析：因为E为DC的中点，所以AC→＝AB→＋AD→＝12AB→＋12AB→＋AD→＝12AB→＋DE→＋AD→＝12AB→＋AE→，即AE→＝－12AB→＋AC→，所以λ＝－12，μ＝1，所以λ＋μ＝12.答案：12平面向量基本定理及其应用(1)已知平行四边形ABCD中，点E，F满足AE→＝2EC→，BF→＝3FD→，则EF→＝________(用AB→，AD→表示)．(2)在△ABC中，点P是AB上一点，且CP→＝23CA→＋13CB→，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又CM→＝tCP→，则实数t的值为________．【解析】(1)如图所示，AE→＝23AC→＝23(AB→＋AD→)，BF→＝34BD→＝34(AD→－AB→)，所以EF→＝EA→＋AB→＋BF→＝－23(AB→＋AD→)＋AB→＋34(AD→－AB→)＝－512AB→＋112AD→.(2)因为CP→＝23CA→＋13CB→，所以3CP→＝2CA→＋CB→，即2CP→－2CA→＝CB→－CP→，所以2AP→＝PB→.即P为AB的一个三等分点(靠近A点)，4又因为A，M，Q三点共线，设AM→＝λAQ→.所以CM→＝AM→－AC→＝λAQ→－AC→＝λ12AB→＋12AC→－AC→＝λ2AB→＋λ－22AC→，又CM→＝tCP→＝t(AP→－AC→)＝t13AB→－AC→＝t3AB→－tAC→.故λ2＝t3，λ－22＝－t，解得t＝34，λ＝12.故t的值是34.【答案】(1)－512AB→＋112AD→(2)341．(变问法)在本例(2)中，试用向量AB→，AC→表示CP→.解：因为CP→＝23CA→＋13CB→，所以3CP→＝2CA→＋CB→，即2CP→－2CA→＝CB→－CP→，2AP→＝PB→，所以AP→＝13AB→，CP→＝AP→－AC→＝13AB→－AC→.2．(变问法)在本例(2)中，试问点M在AQ的什么位置？解：由本例(2)的解析CM→＝λ2AB→＋λ－22AC→及λ＝12，CB→＝2CQ→知，CM→＝12λ(CB→－CA→)＋2－λ2CA→＝λ2CB→＋(1－λ)CA→＝λCQ→＋(1－λ)CA→＝CQ→＋CA→2.5