（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4 第4讲 简单的三角恒等变换

1第4讲简单的三角恒等变换三角函数式的化简化简：(1)（1＋sinθ＋cosθ）sinθ2－cosθ22＋2cosθ(0θπ)；(2)1tanα2－tanα2·1＋tanα·tanα2.【解】(1)原式＝2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2sinθ2－cosθ24cos2θ2＝cosθ2sin2θ2－cos2θ2cosθ2＝－cosθ2·cosθcosθ2.因为0θπ，所以0θ2π2，所以cosθ20.所以原式＝－cosθ.(2)原式＝cosα2sinα2－sinα2cosα2·1＋sinαcosα·sinα2cosα2＝cos2α2－sin2α2sinα2cosα2·cosαcosα2＋sinαsinα2cosαcosα2＝2cosαsinα·cosα2cosαcosα22＝2sinα.三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一个环节，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．1．(2020·义乌模拟)化简：2sin（π－α）＋sin2αcos2α2＝________．解析：2sin（π－α）＋sin2αcos2α2＝2sinα＋2sinαcosα12（1＋cosα）＝4sinα（1＋cosα）1＋cosα＝4sinα.答案：4sinα2．化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x.解：原式＝－2sin2xcos2x＋122sinπ4－xcos2π4－xcosπ4－x＝12（1－sin22x）2sinπ4－xcosπ4－x＝12cos22xsinπ2－2x＝12cos2x.3三角恒等式的证明求证：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos2Acos2B；(2)cos2θ(1－tan2θ)＝cos2θ.【证明】(1)因为左边＝1＋cos（2A＋2B）2－1－cos（2A－2B）2＝cos（2A＋2B）＋cos（2A－2B）2＝12(cos2Acos2B－sin2Asin2B＋cos2Acos2B＋sin2Asin2B)＝cos2Acos2B＝右边，所以等式成立．(2)法一：因为左边＝cos2θ1－sin2θcos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ＝右边，所以等式成立．法二：因为右边＝cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ1－sin2θcos2θ＝cos2θ(1－tan2θ)＝左边，所以等式成立．证明三角恒等式实际上就是有目的地化繁为简，最后左右归一．常用方法：(1)从左边推到右边；(2)从右边推到左边；(3)找中间量，常用技巧：切化弦，降次消元，拆项拆角，“1”的代换以及公式变形等．指导思想是统一三角函数名称，统一为相同的角．设α，β是锐角，sinα＝437，cos(α＋β)＝－1114，求证：β＝π3.证明：由0απ2，0βπ2，知0α＋βπ，又cos(α＋β)＝－1114，故sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）4＝1－－11142＝5314.由sinα＝437，可知cosα＝1－sin2α＝1－4372＝17，所以sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝5314×17－－1114×437＝32，所以β＝π3.三角函数式的求值(高频考点)三角函数式的求值在高考中主要以选择题形式出现，有时以解答题某一步出现，试题难度较小．主要命题角度有：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角．角度一给角求值cos10°（1＋3tan10°）cos50°的值是________．【解析】依题意得cos10°（1＋3tan10°）cos50°＝cos10°＋3sin10°cos50°＝2sin（10°＋30°）cos50°＝2sin40°sin40°＝2.【答案】2角度二给值求值(2020·金华模拟)已知θ∈0，π4，且sinθ－cosθ＝－144，则2cos2θ－1cosπ4＋θ等于()A.23B.43C.34D.325【解析】由sinθ－cosθ＝－144得sinπ4－θ＝74，因为θ∈0，π4，所以π4－θ∈0，π4，所以cosπ4－θ＝34，所以2cos2θ－1cosπ4＋θ＝cos2θsinπ4－θ＝sinπ2－2θsinπ4－θ＝sin2π4－θsinπ4－θ＝2cosπ4－θ＝32.【答案】D角度三给值求角已知tanα，tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的两根，且α，β∈－π2，π2，则α＋β＝()A.π3B.π3或－2π3C．－π3或2π3D．－2π3【解析】由题意得tanα＋tanβ＝－330，tanαtanβ＝40，所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝3，且tanα0，tanβ0，又由α，β∈－π2，π2得α，β∈－π2，0，所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－2π3.【答案】D三角函数求值的3种情况6sin110°sin20°cos2155°－sin2155°的值为()A．－12B.12C.32D．－32解析：选B.sin110°sin20°cos2155°－sin2155°＝sin70°sin20°cos310°＝cos20°sin20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12.三角恒等变换的简单应用如图，现要在一块半径为1m，圆心角为π3的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ的面积为S.(1)求S关于θ的函数关系式；(2)求S的最大值及相应的θ角．【解】(1)分别过P，Q作PD⊥OB于点D，QE⊥OB于点E，则四边形QEDP为矩形．由扇形半径为1m，得PD＝sinθ，OD＝cosθ.在Rt△OEQ中，OE＝33QE＝33PD，MN＝QP＝DE＝OD－OE＝cosθ－33sinθ，S＝MN·PD＝cosθ－33sinθ·sinθ＝sinθcosθ－33sin2θ，θ∈0，π3.(2)S＝12sin2θ－36(1－cos2θ)＝12sin2θ＋36cos2θ－36＝33sin2θ＋π6－36，因为θ∈0，π3，7所以2θ＋π6∈π6，5π6，sin2θ＋π6∈12，1.当θ＝π6时，Smax＝36(m2)．利用三角恒等变换解决实际问题的思路(1)结合具体图形引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行化简，解决最优化问题．(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的范围，最后作出结论并回答问题．[提醒]注意恰当选择自变量，并利用解直角三角形等知识表示有关线段．1．(2020·杭州市高三模拟)函数f(x)＝3sinx2cosx2＋4cos2x2(x∈R)的最大值等于()A．5B.92C.52D．2解析：选B.因为f(x)＝3sinx2cosx2＋4cos2x2＝32sinx＋2cosx＋2＝5235sinx＋45cosx＋2＝52sin(x＋φ)＋2，其中sinφ＝45，cosφ＝35，所以函数f(x)的最大值为92.2.如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？解：连接OB，设∠AOB＝θ，则AB＝OBsinθ＝20sinθ，OA＝OBcosθ＝20cosθ，且θ∈0，π2.因为A，D关于原点对称，所以AD＝2OA＝40cosθ.8设矩形ABCD的面积为S，则S＝AD·AB＝40cosθ·20sinθ＝400sin2θ.因为θ∈0，π2，所以当sin2θ＝1，即θ＝π4时，Smax＝400(m2)．此时AO＝DO＝102(m)．故当A、D距离圆心O为102m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400m2.[基础题组练]1．计算sin15°sin30°sin75°的值等于()A.34B.38C.18D.14解析：选C.原式＝12sin15°cos15°＝14×2sin15°cos15°＝14sin30°＝18.2．已知f(x)＝2tanx－2sin2x2－1sinx2cosx2，则fπ12的值为()A．43B.833C．4D．8解析：选D.因为f(x)＝2tanx＋cosxsinx＝2×sinxcosx＋cosxsinx＝2×1cosxsinx＝4sin2x，所以fπ12＝4sinπ6＝8.3．若sinπ4＋α＝13，则cosπ2－2α等于()A.429B．－4299C.79D．－79解析：选D.因为sinπ4＋α＝13，cosπ2－2α＝sin2α＝－cosπ2＋2α＝－cos2π4＋α＝－1－2sin2π4＋α＝2sin2π4＋α－1＝－79.4．已知α，β均为锐角，(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2，则α＋β为()A.π6B.π4C.π3D.3π4解析：选B.由(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2得tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ，所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝1－tanαtanβ1－tanαtanβ＝1.因为0α，βπ2，所以0α＋βπ，所以α＋β＝π4.5．(2020·台州质检)4sin80°－cos10°sin10°等于()A.3B．－3C.2D．22－3解析：选B.依题意，因为sin80°＝cos10°，所以4sin80°－cos10°sin10°＝4sin10°cos10°－cos10°sin10°＝2sin20°－cos10°sin10°＝2sin（30°－10°）－cos10°sin10°＝212cos10°－32sin10°－cos10°sin10°10＝－3sin10°sin10°＝－3，选B.6．已知cosθ－π6＋sinθ＝435，则sinθ＋7π6的值是()A.45B.435C．－45D．－435解析：选C.因为cosθ－π6＋sinθ＝435，所以32cosθ＋32sinθ＝435，即312cosθ＋32sinθ＝435，即3sinθ＋π6＝435，所以sinθ＋π6＝45，所以sinθ＋7π6＝－sinθ＋π6＝－45.故选C.7.11－tan15°－11＋tan15°＝________．解析：原式＝2tan15°（1－tan15°）（1＋tan15°）＝2tan15°1－tan215°＝tan30°＝33.答案：338．(2020·温州中学高三模考)已知向量a＝(sinα＋cosα，1)，b＝(1，－2cosα)，a·b＝15，α∈0，π2，则sinα＝________，co