2021版高考数学一轮复习 第六章 数列 第2讲 等差数列及其前n项和教案 文 新人教A版

1第2讲等差数列及其前n项和一、知识梳理1．等差数列与等差中项(1)定义：①文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；②符号语言：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的通项公式与前n项和公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．(2)前n项和公式：Sn＝na1＋n（n－1）2d＝n（a1＋an）2．3．等差数列的性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．(3)若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d．(4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．常用结论1．等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d＞0，则为递增数列，若公差d＜0，则为递减数列．2(2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋n（n－1）2d＝d2n2＋a1－d2n是关于n的二次函数且常数项为0.2．两个常用结论(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质①若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝anan＋1；②若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，S奇S偶＝nn－1.(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为S2n－1T2n－1＝anbn.二、习题改编1．(必修5P38例1(1)改编)已知等差数列－8，－3，2，7，…，则该数列的第10项为．答案：372．(必修5P46A组T2改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S5＝90，则等差数列{an}的公差d＝．答案：33．(必修5P39练习T2改编)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为．解析：设第n排的座位数为an(n∈N*)，数列{an}为等差数列，其公差d＝2，则an＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知a20＝60，得60＝a1＋2×(20－1)，解得a1＝22，则剧场总共的座位数为20（a1＋a20）2＝20×（22＋60）2＝820.答案：820一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．()(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．()3(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.()(5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．()(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√(6)×二、易错纠偏常见误区(1)等差数列概念中的两个易误点，即同一个常数与常数；(2)错用公式致误；(3)错用性质致误．1．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋12(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于．解析：由a1＝1，an＝an－1＋12(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为12的等差数列，故S9＝9a1＋9×（9－1）2×12＝9＋18＝27.答案：272．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为．解析：由已知得a1＋3d＋a1＋4d＝24，6a1＋6×52d＝48，解得a1＝－2，d＝4，所以数列{an}的公差为4.答案：43．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝．解析：由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝180.答案：180等差数列的基本运算(师生共研)(1)(2020·福州市质量检测)已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1.若数列1an为等差数列，则a9＝()A.12B.54C.45D．－454(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则()A．an＝2n－5B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝12n2－2n【解析】(1)因为数列1an为等差数列，a3＝2，a7＝1，所以数列1an的公差d＝1a7－1a37－3＝1－127－3＝18，所以1a9＝1a7＋(9－7)×18＝54，所以a9＝45，故选C.(2)法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，因为S4＝0，a5＝5，所以4a1＋4×32d＝0，a1＋4d＝5，解得a1＝－3，d＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋n（n－1）2d＝n2－4n.故选A.法二：设等差数列{an}的公差为d，因为S4＝0，a5＝5，所以4a1＋4×32d＝0，a1＋4d＝5，解得a1＝－3，d＝2.选项A，a1＝2×1－5＝－3；选项B，a1＝3×1－10＝－7，排除B；选项C，S1＝2－8＝－6，排除C；选项D，S1＝12－2＝－32，排除D.故选A.【答案】(1)C(2)A等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．1．(一题多解)(2020·惠州市第二次调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a3＋a4＝15，a7＝13，则S5＝()A．28B．255C．20D．18解析：选B.法一：设等差数列{an}的公差为d，由已知得a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＝15，a1＋6d＝13，解得a1＝1，d＝2，所以S5＝5a1＋5×42d＝5×1＋5×42×2＝25，故选B.法二：由{an}是等差数列，可得a2＋a4＝2a3，所以a3＝5，所以S5＝5（a1＋a5）2＝5×2a32＝25，故选B.2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝4，S4＝22，an＝28，则n＝()A．3B．7C．9D．10解析：选D.因为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4a2＋2d＝22，d＝（22－4a2）2＝3，a1＝a2－d＝4－3＝1，an＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2，由3n－2＝28，得n＝10.等差数列的判定与证明(典例迁移)已知数列{an}中，a1＝14，其前n项和为Sn，且满足an＝2S2n2Sn－1(n≥2)．(1)求证：数列1Sn是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．【解】(1)证明：当n≥2时，Sn－Sn－1＝2S2n2Sn－1.整理，得Sn－1－Sn＝2SnSn－1.两边同时除以SnSn－1，得1Sn－1Sn－1＝2.又1S1＝1a1＝4，所以1Sn是以4为首项，以2为公差的等差数列．(2)由(1)可得数列1Sn的通项公式为1Sn＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，所以Sn＝12（n＋1）.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12（n＋1）－12n＝－12n（n＋1）.当n＝1时，a1＝14，不适合上式．所以an＝14，n＝1，－12n（n＋1），n≥2.6【迁移探究】(变条件)本例的条件变为：a1＝14，Sn＝Sn－12Sn－1＋1(n≥2)，证明1Sn是等差数列．证明：因为Sn＝Sn－12Sn－1＋1，所以2Sn－1Sn＋Sn＝Sn－1，即Sn－1－Sn＝2SnSn－1，故1Sn－1Sn－1＝2(n≥2)，又1S1＝1a1＝4，因此数列1Sn是首项为4，公差为2的等差数列．等差数列的判定与证明的常用方法(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数，n∈N*)或an－an－1＝d(d是常数，n∈N*，n≥2)⇔{an}为等差数列．(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列．(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列．(4)前n项和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔{an}为等差数列．[提示]若要判定一个数列不是等差数列，则只需找出三项an，an＋1，an＋2，使得这三项不满足2an＋1＝an＋an＋2即可；但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝anan＋1，且bn＝1an，n∈N*.求证：数列{bn}为等差数列．证明：因为bn＝1an，且an＋1＝anan＋1，所以bn＋1＝1an＋1＝an＋1an＝1＋1an＝1＋bn，故bn＋1－bn＝1.又b1＝1a1＝1，所以数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列．2．(2020·贵州省适应性考试)已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.(1)求a2，a3的值；(2)证明数列ann是等差数列，并求{an}的通项公式．解：(1)由已知，得a2－2a1＝4，则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.(2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，7得nan＋1－（n＋1）ann（n＋1）＝2，即an＋1n＋1－ann＝2，所以数列ann是首项a11＝1，公差d＝2的等差数列．则ann＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.等差数列的性质及应用(多维探究)角度一等差数列项性质的应用(1)(一题多解)在公差不为0的等差数列{an}中，4a3＋a11－3a5＝10，则15a4＝()A．－1B．0C．1D．2(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d＝．【解析】(1)通解：设数列{an}的公差为d(d≠0)，由4a3＋a11－3a5＝10，得4(a1＋2d)＋(a1＋10d)－3(a1＋4d)＝10，即2a1＋6d＝10，即a1＋3d＝5，故a4＝5，所以15a4＝1，故选C.优解一：设数列{an}的公差为d(d≠0)，因为an＝am＋(n－m)d，所以由4a3＋a11－3a5＝10，得4(a4－d)＋(a4＋7d)－3(a4＋d)＝10，整理得a4＝5，所以15a4＝1，故选C.优解二：由等差数列的性质，得2a7＋3a3－3a5＝10，得4a5＋a3－3a5＝10，即a5＋a3＝10，则2a4＝10，即a4＝5，所以15a4＝1，故选C.(2)设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，公差为d.由已知条件，得S奇＋S偶＝354，S偶∶S奇＝32∶27，解得S偶＝192，S奇＝162.又S偶－S奇＝6d，所以d＝192－1626＝5.【答案】(1)C(2)5角度二等差数列前n项和性质的应用8(1)已知等差数列{an}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为()A．100B．120C．390D．540(2)在等差数列{an}中，a1＝－2018，其前n项和为Sn，若S1212－S1010＝2，则S20