（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第六章 数列与数学归纳法 2 第2讲 等差数列及其前n项和

1第2讲等差数列及其前n项和1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b2，其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．(2)前n项和公式：Sn＝na1＋n（n－1）2d＝（a1＋an）n2．3．等差数列的性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．(3)若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d．(4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．4．等差数列的增减性与最值公差d0时为递增数列，且当a10时，前n项和Sn有最小值；公差d0时为递减数列，且当a10时，前n项和Sn有最大值．5．等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，(n，an)在一次函数y＝px＋q的图象上，即公差不为零的等差数列的图象是直线y＝px＋q上的均匀排开的一群孤立的点．当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于x轴的直线(或x轴)上的均匀排开的一群孤立的点．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)2(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．()(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．()(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.()(5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．()(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√(6)×[教材衍化]1．(必修5P38例1(1)改编)已知等差数列－8，－3，2，7，…，则该数列的第100项为________．解析：依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8＋99×5＝487.答案：4872．(必修5P39练习T5改编)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________．解析：由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝180.答案：1803．(必修5P46A组T5改编)已知等差数列5，427，347，…，则前n项和Sn＝________．解析：由题知公差d＝－57，所以Sn＝na1＋n（n－1）2d＝114(75n－5n2)．答案：114(75n－5n2)4．(必修5P46A组T2改编)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8＝________．解析：由已知可得a1＋5d＝2，5a1＋10d＝30，解得a1＝263，d＝－43，所以S8＝8a1＋8×72d＝32.答案：32[易错纠偏](1)忽视等差数列中项为0的情况；3(2)考虑不全而忽视相邻项的符号；(3)等差数列各项的符号判断不正确．1．已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d0，则使数列{an}的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是________．解析：由|a3|＝|a9|，d0，得a3＝－a9，即a3＋a9＝0，所以a6＝a3＋a92＝0.所以a50，a6＝0，a70.所以当n＝5或6时，Sn取最大值．答案：5或62．首项为30的等差数列{an}，从第8项开始为负数，则公差d的取值范围是________．解析：由题意知a1＝30，a80，a7≥0.即30＋7d0，30＋6d≥0，解得－5≤d－307.答案：－5，－3073．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________．解析：由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，所以n≤5时，an≤0，当n5时，an0，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.答案：130等差数列的基本运算(高频考点)等差数列基本量的计算是高考的常考内容，多出现在选择题、填空题或解答题的第(1)问中，属容易题．主要命题角度有：(1)求公差d、项数n或首项a1；(2)求通项或特定项；(3)求前n项和．角度一求公差d、项数n或首项a1(2020·浙江省高中学科基础测试)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝16，a6＝10，则公差d＝________；Sn取最大值时的n＝________．【解析】a6＝a3＋(6－3)d，所以10＝16＋3d，所以d＝－2，因为a3＝a1＋(3－1)d，所以16＝a1＋2×(－2)，4所以a1＝20，所以Sn＝－n2＋21n，当n＝－212×（－1），由n∈Z得n＝10或11时，Sn取最大值．【答案】－210或11角度二求通项或特定项已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＋a5＝27a23，S7＝63.求数列{an}的通项公式．【解】法一：设正项等差数列{an}的公差为d，则由题意得a1＋a1＋4d＝27（a1＋2d）2，7a1＋21d＝63，即a1＋2d＝17（a1＋2d）2，a1＋3d＝9，又因为an＞0，所以a3＝a1＋2d＞0，所以a1＋2d＝7，a1＋3d＝9，所以a1＝3，d＝2，所以an＝3＋(n－1)×2＝2n＋1(n∈N*)．法二：设正项等差数列{an}的公差为d.因为{an}是等差数列，且a1＋a5＝27a23，所以2a3＝27a23，又an＞0，所以a3＝7.因为S7＝7（a1＋a7）2＝7a4＝63，所以a4＝9.所以d＝a4－a3＝2，所以an＝a3＋(n－3)d＝2n＋1(n∈N*)．角度三求前n项和在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2＋2，5a3成等比数列．(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.5【解】(1)由题意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，即d2－3d－4＝0.故d＝－1或d＝4.所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11，则当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－12n2＋212n.当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝12n2－212n＋110.综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－12n2＋212n，n≤11，12n2－212n＋110，n≥12.等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可知三求二．解决这类问题一般设基本量a1，d，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解，体现方程思想．(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题，一般是等差数列的性质和等差数列求和公式Sn＝n（a1＋an）2结合使用，体现整体代入的思想．1．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为()A．1B．2C．4D．8解析：选C.设等差数列{an}的公差为d，所以a1＋3d＋a1＋4d＝24，6a1＋6×52d＝48，所以d＝4，故选C.2．(2020·嘉兴市高考模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S1S4＝110，则S3S5＝()A.25B.35C.37D.476解析：选A.设公差为d，则a14a1＋6d＝110，d＝a1，所以S3S5＝3a1＋3d5a1＋10d＝25，故选A.3．已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3，Sk＝－35，则k＝________．解析：设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，由于a1＝1，a3＝－3，又a3＝a1＋2d，所以d＝－2，因此an＝3－2n.得Sn＝1＋（3－2n）2n＝2n－n2，所以Sk＝2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5，又因为k∈N*，所以k＝7.答案：7等差数列的判定与证明(1)如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则()A．{Sn}是等差数列B．{S2n}是等差数列C．{dn}是等差数列D．{d2n}是等差数列(2)已知数列{an}中，a1＝2，an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)．设bn＝1an－1(n∈N*)，求证：数列{bn}是等差数列．【解】(1)选A.如图，记hn为△AnBnBn＋1的边BnBn＋1上的高(n∈N*)，设锐角的大小为θ，根据图象可知，hn＋1＝hn＋|AnAn＋1|·sinθ，又|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，所以Sn＋1－Sn＝12||Bn＋1Bn＋2·hn＋1－12|BnBn＋1|·hn＝12|BnBn＋1|·(hn＋1－hn)＝712|BnBn＋1|·|AnAn＋1|sinθ.根据题意，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，所以12|BnBn＋1|·|AnAn＋1|sinθ为常数，所以{Sn}为等差数列，故选A.(2)证明：因为an＝2－1an－1，所以an＋1＝2－1an.所以bn＋1－bn＝1an＋1－1－1an－1＝12－1an－1－1an－1＝an－1an－1＝1，所以{bn}是首项为b1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．判定数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一个常数．(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.(3)通项公式法：数列的通项公式an是n的一次函数．(4)前n项和公式法：数列的前n项和公式Sn是n的二次函数，且常数项为0.[提醒]判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断．(2020·嘉兴质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．解：(1)证明：由题设知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.8所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．等差数列性质的应用及最值(高频考点)等差数列的性质是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度为中、低档题．主要命题角度