（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 3 第3讲 两角和与差的正弦、

1第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos____β±cos__αsin____β；cos(α∓β)＝cos__αcos____β±sin__αsin____β；tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβα±β，α，β均不为kπ＋π2，k∈Z.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin__αcos____α；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝2tanα1－tan2αα，2α均不为kπ＋π2，k∈Z.[三角函数公式的变形](1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；(2)cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.3．三角函数公式关系[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．()(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．()2(3)cos80°cos20°－sin80°sin20°＝cos(80°－20°)＝cos60°＝12.()(4)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．()(5)存在实数α，使tan2α＝2tanα.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√[教材衍化]1．(必修4P127练习T2改编)若cosα＝－45.α是第三象限的角，则sinα＋π4＝________．解析：因为α是第三象限角，所以sinα＝－1－cos2α＝－35，所以sinα＋π4＝－35×22＋－45×22＝－7210.答案：－72102．(必修4P131练习T5改编)sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝________．解析：sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝22.答案：223．(必修4P146A组T4改编)tan20°＋tan40°＋3tan20°·tan40°＝________．解析：因为tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°，所以tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)＝3－3tan20°tan40°，所以原式＝3－3tan20°tan40°＋3tan20°tan40°＝3.答案：3[易错纠偏](1)不会逆用公式，找不到思路；(2)不会合理配角出错；(3)忽视角的范围用错公式．31．化简：sin50°sin65°·1－cos50°＝________．解析：原式＝cos40°cos25°1－cos50°＝cos40°cos25°·2sin25°＝cos40°22sin50°＝2.答案：22．若tanα＝3，tan(α－β)＝2，则tanβ＝________．解析：tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tan（α－β）1＋tanαtan（α－β）＝3－21＋3×2＝17.答案：173．已知θ∈0，π2，且sinθ－π4＝210，则tan2θ＝________．解析：法一：sinθ－π4＝210，得sinθ－cosθ＝15，①已知θ∈0，π2，①平方得2sinθcosθ＝2425，可求得sinθ＋cosθ＝75，所以sinθ＝45，cosθ＝35，所以tanθ＝43，tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－247.法二：因为θ∈0，π2且sinθ－π4＝210，所以cosθ－π4＝7210，所以tanθ－π4＝17＝tanθ－11＋tanθ，所以tanθ＝43.故tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－247.答案：－2474三角函数公式的直接应用(1)已知α∈π2，π，sinα＝513，则tanα＋π4＝()A．－717B.177C.717D．－177(2)(2020·杭州中学高三月考)已知α∈π6，π2，且sinα－π6＝13，则sinα＝______，cosα＋π3＝______．【解析】(1)因为α∈π2，π，所以cosα＝－1213，所以tanα＝－512，所以tanα＋π4＝tanα＋tanπ41－tanαtanπ4＝－512＋11＋512＝717.(2)因为α∈π6，π2，所以0α－π6π3，所以cosα－π6＝1－19＝223，所以sinα＝sinα－π6＋π6＝sinα－π6cosπ6＋cosα－π6sinπ6＝13×32＋223×12＝3＋226，cosα＋π3＝cosα－π6＋π2＝－sinα－π6＝－13.【答案】(1)C(2)3＋226－13利用三角函数公式应注意的问题(1)使用公式求值，首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．(2020·温州七校联考)设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则5sin2α＋π3的值为()A.1225B.2425C．－2425D．－1225解析：选B.因为α为锐角，cosα＋π6＝450，所以α＋π6为锐角，sinα＋π6＝1－cos2α＋π6＝35，所以sin2α＋π3＝2sinα＋π6cosα＋π6＝2425，故选B.三角函数公式的活用(高频考点)三角函数公式的活用是高考的热点，高考多以选择题或填空题的形式出现，研究三角函数的性质和解三角形常应用三角函数公式．主要命题角度有：(1)两角和与差公式的逆用及变形应用；(2)二倍角公式的活用．角度一两角和与差公式的逆用及变形应用(1)已知sinα＋cosα＝13，则sin2(π4－α)＝()A.118B.1718C.89D.29(2)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值为()A．－22B.22C.12D．－12【解析】(1)由sinα＋cosα＝13两边平方得1＋sin2α＝19，解得sin2α＝－89，所以sin2(π4－α)＝1－cos（π2－2α）2＝1－sin2α2＝1＋892＝1718.(2)由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，6可得tanA＋tanB1－tanAtanB＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝3π4，则C＝π4，cosC＝22.【答案】(1)B(2)B角度二二倍角公式的活用cos15°－sin15°cos15°＋sin15°＝________．【解析】法一：原式＝1－tan15°1＋tan15°＝tan45°－tan15°1＋tan45°tan15°＝tan30°＝33.法二：原式＝2（sin45°cos15°－cos45°sin15°）2（sin45°cos15°＋cos45°sin15°）＝sin30°sin60°＝1232＝33.法三：因为cos15°－sin15°cos15°＋sin15°2＝1－sin30°1＋sin30°＝13.又cos15°－sin15°cos15°＋sin15°＞0，所以cos15°－sin15°cos15°＋sin15°＝33.【答案】33三角函数公式的应用技巧运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．1．化简tanα＋1tanα·12sin2α－2cos2α＝()A．cos2αB．sin2α7C．cos2αD．－cos2α解析：选D.原式＝sinαcosα＋cosαsinα·sinαcosα－2cos2α＝(sin2α＋cos2α)－2cos2α＝1－2cos2α＝－cos2α.2．若α＋β＝3π4，则(1－tanα)(1－tanβ)的值是________．解析：－1＝tan3π4＝tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ，所以tanαtanβ－1＝tanα＋tanβ.所以1－tanα－tanβ＋tanαtanβ＝2，即(1－tanα)(1－tanβ)＝2.答案：2角的变换(1)(2020·金华十校联考)已知sin2α＝35(π2＜2α＜π)，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)等于()A．－2B．－1C．－211D.211(2)(2018·高考浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P－35，－45.①求sin(α＋π)的值；②若角β满足sin(α＋β)＝513，求cosβ的值．【解】(1)选A.因为sin2α＝35，2α∈π2，π，所以cos2α＝－45，tan2α＝－34，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan2α－tan（α－β）1＋tan2αtan（α－β）＝－2.(2)①由角α的终边过点P－35，－45得sinα＝－45，8所以sin(α＋π)＝－sinα＝45.②由角α的终边过点P－35，－45得cosα＝－35，由sin(α＋β)＝513得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－5665或cosβ＝1665.角的变换技巧(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)常用拆分方法：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝α＋β2－α2＋β等．1．已知tan(α＋β)＝1，tanα－π3＝13，则tanβ＋π3的值为()A.23B.12C.34D.45解析：选B.tanβ＋π3＝tan（α＋β）－α－π3＝tan（α＋β）－tanα－π31＋tan（α＋β）tanα－π3＝1－131＋1×13＝12.2．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈π4，π，β∈π，3π2，则α＋β的值是()9A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4解析：选A.因为α∈π4，π，所以2α∈π2，2π，又sin2α＝55，故2α∈π2，π，α∈π4，π2，所以cos2α＝－255.又β∈π，3π2，故β－α∈π2，5π4，于是cos(