（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第十章 计数原理与古典概率 7 第7讲 n次独立重复试验与

1第7讲n次独立重复试验与二项分布1．事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．(2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．②如果事件A与B相互独立，那么A与B－，A－与B，A－与B－也相互独立．2．独立重复试验与二项分布独立重复试验二项分布定义在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率计算公式用Ai(i＝1，2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相互独立事件就是互斥事件．()(2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．()(3)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.()答案：(1)×(2)×(3)×[教材衍化]1．(选修2­3P55练习T3改编)天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________．解析：设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为AB＋AB，2所以P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.答案：0.382．(教材习题改编)国庆期间，甲去北京旅游的概率为13，乙去北京旅游的概率为14，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．解析：记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A，“乙去北京旅游”为事件B，又P(A－B－)＝P(A－)·P(B－)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－131－14＝12，甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游，故所求概率为1－P(A－B－)＝1－12＝12.答案：12[易错纠偏](1)相互独立事件恰有一个发生的概率的理解有误；(2)独立重复试验公式应用错误．1．计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有两部分考试都“合格”者，才给颁发计算机“合格证书”．甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为45，23，在操作考试中“合格”的概率依次为12，56，所有考试是否合格相互之间没有影响．则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有一人获得“合格证书”的概率为________．解析：甲获得“合格证书”的概率为45×12＝25，乙获得“合格证书”的概率是23×56＝59，两人中恰有一个人获得“合格证书”的概率是25×1－59＋1－25×59＝2345.答案：23452．设随机变量X～B6，12，则P(X＝3)＝________．解析：因为X～B6，12，所以P(X＝3)＝C36123×1－123＝516.答案：5163相互独立事件的概率(2020·丽水模拟)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p，且乙投球2次均未命中的概率为116.(1)求乙投球的命中率p；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率．【解】(1)设“甲投一次球命中”为事件A，“乙投一次球命中”为事件B.由题意得：P(B－)P(B－)＝116，于是P(B－)＝14或P(B－)＝－14(舍去)．故p＝1－P(B－)＝34.(2)法一：由题设知，P(A)＝12，P(A－)＝12.故甲投球2次，至少命中1次的概率为1－P(A－·A－)＝34.法二：由题设知，P(A)＝12，P(A－)＝12.故甲投球2次，至少命中1次的概率为C12P(A)P(A－)＋P(A)P(A)＝34.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．(3)代入概率的积、和公式求解．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．解：(1)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.4P(X＝0)＝1－12×1－13×1－14＝14，P(X＝1)＝12×1－13×1－14＋1－12×13×1－14＋1－12×1－13×14＝1124，P(X＝2)＝1－12×13×14＋12×1－13×14＋12×13×1－14＝14，P(X＝3)＝12×13×14＝124.所以，随机变量X的分布列为X0123P14112414124(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)＝14×1124＋1124×14＝1148.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.独立重复试验与二项分布(1)(2020·浙江省名校协作体高三联考)箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是________．(2)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．①设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列．②玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？【解】(1)由题意知，首先求出摸一次中奖的概率，从6个球中摸出2个，共有C26＝15种结果，两个球的号码之积是4的倍数，共有(1，4)，(3，4)，(2，4)，(2，6)，(4，5)，(4，6)，所以摸一次中奖的概率是615＝25，4个人摸奖，相当于发生4次试验，且每一5次获奖的概率是25，所以有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是C34×253×35＝96625.故填96625.(2)①X可能的取值为10，20，100，－200.根据题意，有P(X＝10)＝C13×121×1－122＝38，P(X＝20)＝C23×122×1－121＝38，P(X＝100)＝C33×123×1－120＝18，P(X＝－200)＝C03×120×1－123＝18.所以X的分布列为X1020100－200P38381818②设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1，2，3)，则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1－P(A1A2A3)＝1－183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(1)独立重复试验满足的条件独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)二项分布满足的条件①每次试验中，事件发生的概率是相同的．②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．6④随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．1．设随机变量X服从二项分布X～B5，12，则函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点的概率是()A.56B.45C.3132D.12解析：选C.因为函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点，所以Δ＝16－4X≥0，所以X≤4.因为X服从X～B5，12，所以P(X≤4)＝1－P(X＝5)＝1－125＝3132.2．在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲每次投进的概率都是23.(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列；(2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率．解：(1)X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.依条件可知，X～B(6，23)，P(X＝k)＝Ck6·(23)k·(13)6－k(k＝0，1，2，3，4，5，6)．所以X的分布列为X0123456P1729424320243160729802436424364729(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，则P(A)＝C24·(13)2·(23)4＋C14·13·(23)5＋(23)6＝3281，即教师甲在一场比赛中获奖的概率为3281.[基础题组练]1．(2020·东北四市高考模拟)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，事件“至少有一次正面向上”的概率为PP≥1516，则n的最小值为()A．4B．5C．6D．77解析：选A.由题意得P＝1－12n≥1516，则12n≤116，所以n≥4，故n的最小值为4.2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一个发生的概率是()A.512B.12C.712D.34解析：选C.依题意，得P(A)＝12，P(B)＝16，且事件A，B相互独立，则事件A，B中至少有一个发生的概率为1－P(A－·B－)＝1－P(A－)·P(B－)＝1－12×56＝712，故选C.3．(2020·绍兴调研)设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝59，则P(Y≥2)的值为()A.3281B.1127C.6581D.1681解析：选B.因为随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，又P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)2＝59，解得p＝13，所以Y～B4，13，则P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)＝1127.4．(2020·杭州七校联考)如果X～B15，14，则使P(X＝k)取最大值的k值为()A．3B．4C．5D．3或4解析：选D.观察选项，采用特殊值法．因为P(X＝3)＝C3151433412，P(X＝4)＝C4151443411，P(X＝5)＝C5151453410，经比较，P(X＝3)＝P(X＝4)＞P(X＝5)，故使P(X＝k)取最大值时k＝3或4.5．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活8率分别为56和45，且每棵大树是否成活互不影响，则移栽的4棵大树中至少有1棵成活的概率是()A.13B.23C.887900D.899900解析：选D.设Ak表示第k棵甲种大树成活，k＝1，2；Bl表示第l棵乙种大树成活，l＝1，2，则A1，A2，B1，B2相互独立，且P(A1)＝P(A2)＝56，P(B1)＝P(B2)＝45，则至少有1棵大树成活的概率为1－P(A1·A2·B1·B2)＝1－P(A1)·P(A