2021版高考数学一轮复习 第六章 数列 第5讲 数列的综合应用教案 文 新人教A版

1第5讲数列的综合应用等差数列与等比数列的综合问题(师生共研)(2018·高考北京卷)设{an}是等差数列，且a1＝ln2，a2＋a3＝5ln2.(1)求{an}的通项公式；(2)求ea1＋ea2＋…＋ean.【解】(1)设{an}的公差为d.因为a2＋a3＝5ln2，所以2a1＋3d＝5ln2.又a1＝ln2，所以d＝ln2.所以an＝a1＋(n－1)d＝nln2.(2)因为ea1＝eln2＝2，eanean－1＝ean－an－1＝eln2＝2，所以{ean}是首项为2，公比为2的等比数列．所以ea1＋ea2＋…＋ean＝2×1－2n1－2＝2(2n－1)＝2n＋1－2.等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，确定最终解决问题需要首先求解的中间问题，如求和需要先求出通项、求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．(2)注意细节．在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．[提醒]在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论，分类解决问题后要注意结论的整合．(2020·吉林第一次调研测试)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝3，an＋1＝2an＋1.2(1)证明：{an＋1}为等比数列；(2)求{an}的通项公式，并判断n，an，Sn是否成等差数列？说明理由．解：(1)证明：因为a2＝3，a2＝2a1＋1，所以a1＝1，因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．(2)由(1)知，an＋1＝2n，所以an＝2n－1，所以Sn＝2－2n＋11－2－n＝2n＋1－n－2，所以n＋Sn－2an＝n＋2n＋1－n－2－2(2n－1)＝0，所以n＋Sn＝2an，即n，an，Sn成等差数列．数列的实际应用与数学文化(师生共研)(2020·重庆八中4月模拟)某地区2018年人口总数为45万．实施“二孩”政策后，专家估计人口总数将发生如下变化：从2019年开始到2028年，每年人口总数比上一年增加0.5万人，从2029年开始到2038年，每年人口总数为上一年的99%.(1)求实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位：万人)的表达式(注：2019年为第一年)；(2)若“二孩”政策实施后的2019年到2038年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施，问到2038年结束后是否需要调整政策？(参考数据：0.9910≈0.9)【解】(1)由题意知，当1≤n≤10时，数列{an}是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，可得an＝45.5＋0.5×(n－1)＝0.5n＋45，则a10＝50；当11≤n≤20时，数列{an}是公比为0.99的等比数列，则an＝50×0.99n－10.故实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位：万人)的表达式为an＝0.5n＋45，1≤n≤10，50×0.99n－10，11≤n≤20.(2)设Sn为数列{an}的前n项和．从2019年到2038年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得S20＝S10＋(a11＋a12＋…＋a20)＝477.5＋4950×(1－0.9910)≈972.5.所以“二孩”政策实施后的2019年到2038年人口平均值为S2020≈48.63，则S2020＜49，故到2038年结束后不需要调整政策．3数列实际应用中的常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑考查的是第n项an与第n＋1项an＋1的递推关系还是前n项和Sn与前n＋1项和Sn＋1之间的递推关系．1．(2020·广东潮州二模)我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：现有一根金箠，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤．若该金箠从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则该金箠共重为()A．6斤B．7斤C．9斤D．15斤解析：选D.设从头到尾每一尺的质量构成等差数列{an}，则有a1＝4，a5＝2，所以a1＋a5＝6，数列{an}的前5项和为S5＝5×a1＋a52＝5×3＝15，即该金箠共重15斤．故选D.2．1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：5只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉，准备第二天再分，夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉一个桃子，然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，将剩余的桃子吃掉一个后，也将桃子分成5等份；藏起自己的一份睡觉去了；以后的3只猴子都先后照此办理，问：最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？解：假如我们设最初有a1个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为a2，a3，a4，a5，a6，得到一个数列{an}，依题意，可知数列的递推公式：an＋1＝an－15(an－1)－1，即an＋1＝45(an－1)，整理变形，得an＋1＋4＝45(an＋4)．4故{an＋4}是以45为公比的等比数列，所以a6＋4＝(a1＋4)455，欲使(a6＋4)∈N*，应有a1＋4＝55m(m∈N*)，故最初至少有桃子a1＝55－4＝3121个，从而最后至少剩下a6＝45－4＝1020个．数列与函数、不等式的综合问题(师生共研)设函数f(x)＝12＋1x，正项数列{an}满足a1＝1，an＝f1an－1，n∈N*，且n≥2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)对n∈N*，求证：1a1a2＋1a2a3＋1a3a4＋…＋1anan＋12.【解】(1)由an＝f1an－1，所以an＝12＋an－1，n∈N*，且n≥2，所以数列{an}是以1为首项，以12为公差的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋12(n－1)＝n＋12.(2)证明：由(1)可知1anan＋1＝4（n＋1）（n＋2）＝41n＋1－1n＋2，Sn＝1a1a2＋1a2a3＋1a3a4＋…＋1anan＋1＝4[12－13＋13－14＋14－15…＋(1n＋1－1n＋2)]＝412－1n＋2＝2－4n＋22，得证．数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略(1)数列与函数的交汇问题①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题，解题时要注意数列与函数的内在联系，掌握递推数列5的常见解法．(2)数列与不等式的交汇问题①函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；②放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到；③比较方法：作差或者作商比较．1．(2020·湖南岳阳一模)曲线y＝n2x＋lnx(n∈N*)在x＝2n处的切线斜率为an，则数列1anan＋1的前n项的和为．解析：对y＝n2x＋lnx(n∈N*)求导，可得y′＝n2＋1x，由曲线y＝n2x＋lnx(n∈N*)在x＝2n处的切线斜率为an，可得an＝n2＋n2＝n.所以1anan＋1＝1n（n＋1）＝1n－1n＋1，则数列1anan＋1的前n项的和为1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝nn＋1.答案：nn＋12．(2020·浙江杭州4月模拟)已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则a5＝，b10＝．解析：因为an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，所以an，an＋1是方程x2－bnx＋2n＝0的两个根，根据根与系数的关系，可得an·an＋1＝2n，an＋an＋1＝bn，由an·an＋1＝2n，可得an＋1·an＋2＝2n＋1，两式相除可得an＋2an＝2，所以a1，a3，a5，…成公比为2的等比数列，a2，a4，a6，…成公比为2的等比数列，又由a1＝1，得a2＝2，所以a5＝1×22＝4，a10＝2×24＝32，a11＝1×25＝32，所以b10＝a10＋a11＝32＋32＝64.答案：464[基础题组练]1．(2020·开封市定位考试)等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋4S2＝0，则公比q＝6()A．－1B．1C．－2D．2解析：选C.法一：因为a3＋4S2＝0，所以a1q2＋4a1＋4a1q＝0，因为a1≠0，所以q2＋4q＋4＝0，所以q＝－2，故选C.法二：因为a3＋4S2＝0，所以a2q＋4a2q＋4a2＝0，因为a2≠0，所以q＋4q＋4＝0，即(q＋2)2＝0，所以q＝－2，故选C.2．(2020·宁夏银川一中一模)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，其前n项和为Sn，且b7＝a7，则S13＝()A．26B．52C．78D．104解析：选B.设等比数列{an}的公比为q，因为a3a11＝4a7，所以a27＝4a7≠0，解得a7＝4，因为数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，所以S13＝13×（b1＋b13）2＝13b7＝13a7＝52.故选B.3．(2020·吉林长春5月联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＞0，a6和a8是函数f(x)＝154lnx＋12x2－8x的极值点，则S8＝()A．－38B．38C．－17D．17解析：选A.因为f(x)＝154lnx＋12x2－8x，所以f′(x)＝154x＋x－8＝x2－8x＋154x＝x－12x－152x，令f′(x)＝0，解得x＝12或x＝152.又a6和a8是函数f(x)的极值点，且公差d＞0，所以a6＝12，a8＝152，所以a1＋5d＝12，a1＋7d＝152，解得a1＝－17，d＝72.所以S8＝8a1＋8×（8－1）2×d＝－38，故选A.74．设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于()A．n(2n＋3)B．n(n＋4)C．2n(2n＋3)D．2n(n＋4)解析：选A.由题意可设f(x)＝kx＋1(k≠0)，则(4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)，解得k＝2，f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n＋1)＝n(2n＋3)．5．(2020·山东临沂三模)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)．此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2019项的和为()A．672B．673C．1346D．2019解析：选C.由于{an}是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以2的余数，故{an}为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，…，所以{an}是周期为3的周期数列，且一个周期中的三项之和为1＋1＋0＝2.因为2019＝673×3，所以数列{an}的前2019项的和为673×2＝1346.故选C.6．(2019·高考北京卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝，Sn的最小值为．解析：设等差数列{an}的公差为d，因为a2＝－3，S5＝－10，即a1＋d＝－3，5a1＋10d＝－1