2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性限时规范训练 新人教A版必

-1-1.3.2奇偶性【基础练习】1．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【答案】B【解析】F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．2．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于()A．－3B．－1C．1D．3【答案】A【解析】∵f(x)是奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝－3．3．若函数f(x)＝x2x＋1x－a为奇函数，则a等于()A．12B．23C．34D．1【答案】A【解析】函数f(x)的定义域为xx≠－12，且x≠a．又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a＝12．4．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)【答案】A【解析】∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)．又当x≥0时，f(x)是增函数，∴f(2)＜f(3)＜f(π)，从而f(－2)＜f(－3)＜f(π)．5．(2019年北京期中)已知函数f(x)＝x2＋x＋1x2＋1，若f(a)＝23，则f(－a)＝________．-2-【答案】43【解析】f(x)＝x2＋x＋1x2＋1＝1＋xx2＋1，而h(x)＝xx2＋1是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－23＝43．6．偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f(x)的单调递增区间为________．【答案】[－1,0]，[1，＋∞)【解析】偶函数的图象关于y轴对称，可知函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[1，＋∞)．7．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)＞0，求实数m的取值范围．【解析】由f(m)＋f(m－1)0，得f(m)－f(m－1)，即f(1－m)f(m)．∵f(x)在[0,2]上为减函数，且f(x)在[－2,2]上为奇函数，∴f(x)在[－2,2]上为减函数．∴－2≤1－m≤2，－2≤m≤2，1－mm，即－1≤m≤3，－2≤m≤2，m12，解得－1≤m12．因此实数m的取值范围是－1，12．8．函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f12＝25．(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明：f(x)在(－1,1)上是增函数；-3-(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)0．【解析】(1)由题意知f00，f12＝25，即b1＋02＝0，a2＋b1＋14＝25，解得a＝1，b＝0，∴f(x)＝x1＋x2．(2)证明：任取－1x1x21，则x2－x10，f(x2)－f(x1)＝x21＋x22－x11＋x21＝x2－x11－x1x21＋x211＋x22．∵－1x1x21，∴－1x1x21,1－x1x20．于是f(x2)－f(x1)0，∴f(x)为(－1,1)上的增函数．(3)f(t－1)－f(t)＝f(－t)．∵f(x)在(－1,1)上是增函数，∴－1t－1－t1，解得0t12．【能力提升】9．已知奇函数f(x)，当x＞0时单调递增，且f(1)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围为()A．{x|0＜x＜1或x＞2}B．{x|x＜0或x＞2}C．{x|x＜0或x＞3}D．{x|x＜－1或x＞1}【答案】A【解析】∵定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增且f(1)＝0，∴函数f(x)在(－∞，0)上单调递增且f(－1)＝0．∴当－1＜x＜0或x＞1时，f(x)＞0；当x＜－1或0＜x＜1时，f(x)＜0．要使f(x－1)＞0，则－1＜x－1＜0或x－1＞1，解得0＜x＜1或x＞2．故选A．10．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于()A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．又g(x)是偶函数，∴g(－1)＝g(1)．-4-∵f(－1)＋g(1)＝2，∴g(1)－f(1)＝2．①又f(1)＋g(－1)＝4，∴f(1)＋g(1)＝4．②由①②，得g(1)＝3．11．(2019年江苏无锡模拟)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x＋2)5的解集是________．【答案】(－7,3)【解析】因为f(x)为偶函数，所以f(|x＋2|)＝f(x＋2)，则f(x＋2)5可化为f(|x＋2|)5，即|x＋2|2－4|x＋2|5，(|x＋2|＋1)(|x＋2|－5)0，所以|x＋2|5，解得－7x3，所以不等式f(x＋2)的解集是(－7,3)．12．设函数f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值与最小值．【解析】(1)证明：令x＝y＝0，得f(0)＋f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0．令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．(2)设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0，于是f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)＜0，∴f(x1)＞f(x2)．∴f(x)在R上是减函数．∴f(x)的最大值为f(－3)＝－f(3)＝－3f(1)＝(－3)×(－2)＝6，最小值为f(3)＝－f(－3)＝－6．