2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.1

-1-1．1.2分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用知识点分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理与分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题．其区别在于：分类加法计数原理针对的是□01分类问题，其中各种方法□02相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事．分步乘法计数原理针对的是□03分步问题，各个步骤中的方法□04互相依存，只有各个步骤都完成之后才算做完这件事．对较复杂的计数问题，首先要明确是先“分类”后“分步”，还是先“分步”后“分类”；其次在“分类”和“分步”的过程中，均要确定明确的分类标准和分步程序．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分类就是能“一步到位”，分步只能“局部到位”．()(2)由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数有12个．()(3)分类时，各类之间是互相独立且排斥的，分步时各步之间是互相依存，互相联系的．()答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(1)一个礼堂有4个门，若从任一个门进，从任一个门出，共有________种不同走法．(2)如图从A→C有________种不同走法．(3)一位顾客去买书，发现4本好书，决定至少买其中的2本，则这位顾客购书的方案共有________种．答案(1)16(2)6(3)11解析(1)4×4＝16种．(2)分为两类，不过B有2种方法，过B有2×2＝4种方法，共有2＋4＝6种方法．-2-(3)分三类：购买2本有6种，购买3本有4种，购买4本有1种，共有6＋4＋1＝11种方案．探究11．在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的有()A．512个B．192个C．240个D．108个答案D解析能被5整除的四位数，可分为两类一类是末位为0，由分步乘法计数原理，共有5×4×3＝60(个)．二类是末位为5，由分步乘法计数原理共有4×4×3＝48(个)．由分类加法计数原理得60＋48＝108(个)．2．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则最多形成不同的直线的条数为()A．18B．20C．25D．10答案A解析第一步，给A赋值有5种选择，第二步，给B赋有4种选择，由分步乘法计数原理可得：5×4＝20(种)．又因为A＝1，B＝2，与A＝2，B＝4表示同一直线．A＝2，B＝1与A＝4，B＝2，也表示同一直线．∴形成不同的直线最多的条数为20－2＝18.3．某运动会上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．答案2880解析分两步安排这8名运动员．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，所以共有4×3×2＝24种方法；第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，共有5×4×3×2×1＝120(种)．所以安排这8人的方式共有24×120＝2880(种)．4．将三个1、三个2、三个3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，则不同的填写方法共有________种．答案12解析先填第一行，有3×2×1＝6种填法，再填第二行第一列，有2种填法，该位置确定后，其余位置也就唯一确定了，故共有6×2＝12种填法．-3-5．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有多少种？解解法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6种不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2＝6种不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)．解法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有4×3×2＝24种方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种方法，故共有不同的种植方法24－6＝18(种).