2020年高中数学 第一章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.3 空间中的垂直

1第一课时直线与平面垂直课时跟踪检测[A组基础过关]1．如果直线a与直线b垂直，同时直线b又垂直于平面α，则直线a与平面α的位置关系是()A．a⊥αB．a∥αC．a⊂αD．a⊂α或a∥α解析：当a⊂α时，由b⊥α知b⊥a，符合题设条件，同理当a∥α时，也符合a⊥b这一条件．答案：D2．下列说法正确的是()A．垂直于同一条直线的两直线平行B．垂直于同一条直线的两直线垂直C．垂直于同一个平面的两直线平行D．垂直于同一条直线的一条直线和平面平行解析：在空间中垂直于同一直线的两条直线，可能平行，可能相交，也可能异面，所以A、B错；垂直于同一直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内，也可以是直线和平面平行，所以D错；由线面垂直性质定理知C正确．答案：C3.E，F分别是正方形ABCD中AB，BC的中点，沿DE，DF及EF把△ADE，△CDF和△BEF折起，使A，B，C三点重合于一点P，则有()A．DP⊥平面PEFB．DE⊥平面PEFC．EF⊥平面PEDD．DF⊥平面PEF解析：如图所示，A，B，C三点重合于点P，则PD⊥PE，PD⊥PF，又PE∩PF＝P，所以PD⊥平面PEF.2答案：A4．设有两条直线a，b和两个平面α，β，则下列说法中错误的是()A．若a∥α，且a∥b，则b⊂α或b∥αB．若a∥b，且a⊥α，b⊥β，则α∥βC．若α∥β，且a⊥α，b⊥β，则a∥bD．若a⊥b，且a∥α，则b⊥α解析：易判断A正确；对于B，由a∥b，b⊥β知a⊥β，又a⊥α，故α∥β，从而B正确；C中，由α∥β，a⊥α知a⊥β，又b⊥β，故a∥b，从而C正确；而D中由a⊥b，a∥α知b与α可能垂直，也可能相交而不垂直，也可能平行．答案：D5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为4，点A1到截面AB1D1的距离为()A．433B．334C．163D．34解析：在正方体中，△AB1D1是等边三角形，边长为42，∴S△AB1D1＝12×42×26＝83.设A1到截面AB1D1的距离为h，∴VA1－AB1D1＝VA－A1B1D1，∴13h·S△AB1D1＝13AA1·S△A1B1D1，∴13h·83＝13×4×12×4×4，∴h＝43＝433，故选A．答案：A6．已知两条不同直线m，l，两个不同平面α，β，给出下列命题：①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；②若l∥α，则l平行于α内的所有直线；③若l⊥α，m⊂α，则l⊥m；④若l∥m，m⊥α，则l⊥α；⑤若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l.其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)．3答案：①③④7.如右图，□ADEF的边AF垂直于平面ABCD，AF＝2，CD＝3，则CE＝________.解析：∵AF⊥平面ABCD，AF∥DE，∴DE⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴DE⊥CD.∵DE＝AF＝2，CD＝3，∴EC＝22＋32＝13.答案：138．如图所示，直角△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)如图，∵SA＝SB＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.连接BD.在Rt△ABC中，则AD＝DC＝BD.∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.(2)∵BA＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD.∵AC∩SD＝D，∴BD⊥平面SAC.[B组技能提升]1．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是()4A．EF与BB1垂直B．EF与BD垂直C．EF与CD异面D．EF与A1C1异面解析：过E作BB1的平行线交AB于M，过F作BB1的平行线交BC于N，如图所示．连接MN，可知M，N分别是AB与BC的中点，∴EF∥MN∥AC，∵AC⊥BB1，∴EF⊥BB1，A正确；∵AC⊥BD，∴EF⊥BD，B正确；EF与CD异面，C正确；∵AC∥A1C1，∴EF∥A1C1，∴D不正确，故选D．答案：D2.如图所示的多面体ABCDE中，AE⊥平面ABC，且BD∥AE，AC＝AB＝BC＝BD＝2AE，F为CD的中点，则下列命题正确的有()①AC⊥平面DBC；②EF⊥平面DBC；③BC⊥平面ADC；④DC⊥平面EFB.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由题可知△ABC为等边三角形，∴AC与BC不垂直，①③错；∵DB＝BC，F为CD的中点，∴BF⊥DC.连接EC，在△EAC中，EC＝EA2＋AC2＝5AE，ED＝AB2＋12BD2＝5AE，5∴EC＝ED，∴EF⊥DC，又BF⊥DC，BF∩EF＝F，∴DC⊥平面EFB，④正确；取BC的中点M，连接FM，AM，可知EA═∥FM，四边形EAMF是平行四边形，∴EF∥AM，又AM⊥BC，∴EF⊥BC，EF⊥DC，DC∩BC＝C，∴EF⊥平面BDC，②正确，故选B．答案：B3．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________.解析：∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN，又MN⊥B1M，∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M，∴∠C1MN＝90°.答案：90°4．△ABC所在平面α外有一点P，过P作PO⊥平面α，垂足为O，连接PA，PB，PC.(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的________心；(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则O是△ABC的________心．解析：(1)若PA＝PB＝PC，则AO＝BO＝CO，∴O为△ABC的外心；(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，∴PB⊥平面PAC，∴PB⊥AC，又AC⊥PO，PB∩PD＝P，∴AC⊥平面POB，∵BO⊂平面POB，∴AC⊥BO，同理可得AB⊥CO，故O是△ABC高的交点，∴O为垂心．6答案：(1)外(2)垂5.如右图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥AB；(2)若PA＝AD，求证：MN⊥平面PCD.证明：(1)如右图取CD的中点E，连接EM，EN，则CD⊥EM，且EN∥PD.∵PA⊥平面ABCD，AD⊥DC，∴CD⊥PD，从而CD⊥EN.∴CD⊥平面MNE.因此，MN⊥CD，而CD∥AB，故MN⊥AB.(2)在Rt△PAD中有PA＝AD，取PD的中点K，连接AK，KN，则KN═∥12DC═∥AM，且AK⊥PD.∴四边形AMNK为平行四边形，从而MN∥AK.因此MN⊥PD.由(1)知MN⊥DC.又PD∩DC＝D，∴MN⊥平面PCD.6.已知正三棱柱ABC－A1B1C1所有的棱长均为2，D是CC1的中点，(1)求多面体ABD－A1B1C1的体积；(2)求点C到平面ABD的距离．解：(1)VABC－A1B1C1＝S△ABC·AA1＝12×2×2×32×2＝23.VD－ABC＝13×12×2×2×32×1＝33，∴VABD－A1B1C1＝VABC－A1B1C1－VD－ABC＝23－33＝533.(2)设点C到平面ABD的距离为h，7由VD－ABC＝VC－ABD，得13hS△ABD＝33，∵AB＝2，BD＝BC2＋DC2＝5，AD＝5，取AB的中点M，∴DM＝DB2－AB22＝2，∴S△ABD＝12×2×2＝2，∴h＝32，即点C到平面ABD的距离为32.