2019-2020学年高中数学 阶段评估（六） 北师大版必修3

1阶段评估(六)时间：45分钟满分：100分一、选择题(6×5＝30分)1．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()7866657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08B．07C．02D．01解析：选D由随机数表得这5个号码分别为：08,02,14,07,01，故选D.2．某学校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率为0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则三年级应抽取的学生人数为()一年级二年级三年级女生373xy男生377370zA．24B．18C．16D．12解析：选C二年级女生人数为2000×0.19＝380，∴三年级人数为2000－(373＋377＋380＋370)＝500，∴三年级应抽取人数为64×5002000＝16，∴故选C.3．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产品x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为y＝0.7x＋0.35，那么表中t的值为()x3456y2.5t44.5A.4.5B．3.5C．3.15D．3解析：选Dx＝14(3＋4＋5＋6)＝4.5，y＝14(2.5＋t＋4＋4.5)＝14(11＋t)，把(x，y)代入y＝0.7x＋0.35得，14(11＋t)＝0.7×4.5＋0.35，∴t＝3.4．如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组2的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为()A．20B．30C．40D．50解析：选C由题图知，前3组的频率之和为1－(0.0375＋0.0125)×5＝0.75，∴第2小组的频率是0.75×21＋2＋3＝0.25.又∵第2小组的频数是10，∴抽取的学生人数为10÷0.25＝40.5．已知实数x∈[0,8]，执行如图所示的算法框图，则输出的x不小于55的概率是()A.14B.12C.34D.45解析：选A由算法框图知，n＝1时，x＝2x＋1；n＝2时，x＝2(2x＋1)＋1＝4x＋3；n＝3时，x＝2(4x＋3)＋1＝8x＋7.终止循环得8x＋7≥55，∴x≥6.又∵x∈[0,8]，∴x∈[6,8]，∴P＝8－68－0＝14.6．为了调查某超市的营业情况，下表是该超市五月份某一周的利润情况记录.日期14日15日16日17日18日19日20日当日利润(万元)0.200.170.230.210.230.180.25根据上表请估计该超市今年五月份的总利润是()A．6.51万元B．6.4万元C．1.47万元D．5.88万元解析：选A根据这一周的记录可以求得每天的平均利润为(0.20＋0.17＋0.23＋0.21＋0.23＋0.18＋0.25)×17＝0.21(万元)，∴五月份的总利润是0.21×31＝6.51(万元)．二、填空题(3×5＝15分)7．向区域|x|＋|y|≤2内任意投一点P，则点P落在单位圆x2＋y2＝1内的概率为3________．解析：区域|x|＋|y|≤2表示的是边长为2的正方形，单位圆x2＋y2＝1内的点都在正方形区域内，如图所示，故所求的概率为P＝S圆S正方形＝π4.答案：π48．如果执行下列程序框图，那么输出的S＝________.解析：第一次循环：S＝2，k＝2；第二次循环：S＝6，k＝3；第三次循环：S＝12，k＝4；…；第20次循环：S＝2(1＋2＋3＋…＋20)＝420，k＝21，∵2120，∴跳出循环，故输出S＝420.答案：4209．(2019·全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．解析：甲队以4∶1获胜，甲队在第5场(主场)获胜，前4场中有一场输．若在主场输一场，则概率为2×0.6×0.4×0.5×0.5×0.6；若在客场输一场，则概率为2×0.6×0.6×0.5×0.5×0.6.∴甲队以4∶1获胜的概率P＝2×0.6×0.5×0.5×(0.6＋0.4)×0.6＝0.18.答案：0.18三、解答题(55分)10．(13分)城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示(单位：min)．4(1)求这15名乘客的平均候车时间；(2)估计这60名乘客中候车时间少于10min的人数；(3)若从下表第三、四组的6人中选2人做进一步问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．组别候车时间人数一[0,5)2二[5,10)6三[10,15)4四[15,20)2五[20,25]1解：(1)115×(2.5×2＋7.5×6＋12.5×4＋17.5×2＋22.5×1)＝115×157.5＝10.5，故这15名乘客的平均候车时间为10.5min.(2)由几何概型的概率计算公式可得，候车时间少于10分钟的概率为2＋615＝815，所以候车时间少于10min的人数为60×815＝32.(3)将第三组乘客编号为a1，a2，a3，a4，第四组乘客编号为b1，b2.从6人中任选2人的所有可能情况为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共15种，其中2人恰好来自不同组包含8种可能情况，故所求概率为815.11．(13分)某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量(单位：克)是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图(如下)．(1)根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；(2)若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率．解：(1)∵x甲＝5120＋110×4＋100＋7＋1×2＋4＋3＋26＝113，x乙＝120＋110×3＋100×2＋8＋9＋2＋5＋46＝113，s2甲＝16[(122－113)2＋2(111－113)2＋(113－113)2＋(114－113)2＋(107－113)2]＝21，s2乙＝16[(124－113)2＋(110－113)2＋(112－113)2＋(115－113)2＋(108－113)2＋(109－113)2]＝883.∵21883，∴甲相对稳定．(2)从乙车间6件样品中随机抽取两件，共有15种不同的取法：(108,109)，(108,110)，(108,112)，(108,115)，(108,124)，(109,110)，(109,112)，(109,115)，(109,124)，(110,112)，(110,115)，(110,124)，(112,115)，(112,124)，(115,124)．设A表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”，则A所含的基本事件有4种：(108,109)，(108,110)，(109,110)，(110,112)．故所求概率为P(A)＝415.12．(14分)某学校制定学校发展规划时，对现有教师进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如表：学历35岁以下35～50岁50岁以上本科803020研究生x20y(1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的教师中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；(2)在该校教师中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取1人，此人的年龄为50岁以上的概率为539，求x、y的值．解：(1)用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m，∴3050＝m5，解得m＝3.∴抽取了学历为研究生的2人，学历为本科的3人，分别记作S1、S2；B1、B2、B3.6从中任取2人的所有基本事件共10个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B2，B3)，(B1，B3)．其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)．∴从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为710.(2)依题意得10N＝539，解得N＝78，∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20.∴4880＋x＝2050＝1020＋y，解得x＝40，y＝5.∴x＝40，y＝5.13．(15分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．解：(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000.当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65000.所以T＝800X－39000，100≤X130，65000，130≤X≤150.(2)由(1)知利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.7