2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.2 函数的表示法 第2课时 分段函数

-1-第2课时分段函数与映射【基础练习】1．以下几个论断：①从映射角度看，函数是其定义域到值域的映射；②函数y＝x－1，x∈Z，且x∈(－3,3]的图象是一条线段；③分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；④若D1，D2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则D1∩D2＝∅．其中正确的论断有()A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】函数是特殊的映射，所以①正确；②中的定义域为{－2，－1,0,1,2,3}，它的图象是直线y＝x－1上的六个孤立的点，因此②不正确；由分段函数的概念可知③正确，④不正确．2．已知函数f(x)＝10，x0，10x，x≥0，则f[f(－7)]的值为()A．100B．10C．－10D．－100【答案】A【解析】∵f(x)＝10，x0，10x，x≥0，∴f(－7)＝10，f[f(－7)]＝f(10)＝10×10＝100．3．函数f(x)＝x＋|x|x的图象是()【答案】C【解析】f(x)＝x＋1，x0，x－1，x0，画出f(x)的图象可知选C．4．已知集合A中元素(x，y)在映射f下对应B中元素(x＋y，x－y)，则B中元素(4，－2)在A中对应的元素为()-2-A．(1,3)B．(1,6)C．(2,4)D．(2,6)【答案】A【解析】由题意得x＋y＝4，x－y＝－2，解得x＝1，y＝3.5．设f：x→ax－1为从集合A到B的映射，若f(2)＝3，则f(3)＝________．【答案】5【解析】由f(2)＝3，可知2a－1＝3，∴a＝2．∴f(3)＝3a－1＝3×2－1＝5．6．函数f(x)＝x2＋1，x≥0，2－x，－2≤x＜0的值域是________．【答案】[1，＋∞)【解析】当x≥0时，f(x)≥1；当－2≤x＜0时，2＜f(x)≤4，∴f(x)≥1或2＜f(x)≤4，即f(x)的值域为[1，＋∞)．7．已知函数f(x)＝x2－4，0≤x≤2，2x，x＞2.(1)求f(2)，f[f(2)]的值；(2)若f(x0)＝8，求x0的值．【解析】(1)∵0≤x≤2时，f(x)＝x2－4，∴f(2)＝22－4＝0，f[f(2)]＝f(0)＝02－4＝－4．(2)当0≤x0≤2时，由x20－4＝8，得x0＝±23(舍去)；当x0＞2时，由2x0＝8，得x0＝4．∴x0＝4．8．成都市出租车的现行计价标准是：路程在2km以内(含2km)按起步价8元收取，超过2km后的路程按1．9元/km收取，但超过10km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1．9×(1＋50%)＝2．85(元/km)．(1)将某乘客搭乘一次出租车的费用f(x)(单位：元)表示为行程x(0x≤60，单位：km)的分段函数；(2)某乘客的行程为16km，他准备先乘一辆出租车行驶8km后，再换乘另一辆出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆出租车完成全部行程更省钱？(现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑)【解析】(1)由题意得，车费f(x)关于路程x的函数为-3-f(x)＝8，0x≤2，8＋1.9x－22x≤10，8＋1.9×8＋2.85x－1010x≤60＝8，0x≤2，4.2＋1.9x，2x≤10，2.85x－5.3，10x≤60.(2)只乘一辆车的车费为f(16)＝2．85×16－5．3＝40．3(元)，换乘2辆车的车费为2f(8)＝2×(4．2＋1．9×8)＝38．8(元)．∵40．338．8，∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱．【能力提升】9．已知函数f(x)＝x－5，x≥6，fx＋2x＜6，则f(3)＝()A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】f(3)＝f(3＋2)＝f(5)，f(5)＝f(5＋2)＝f(7)，f(7)＝7－5＝2，故f(3)＝2．10．(2019年湖南岳阳模拟)已知函数f(x)＝2，x∈[－1，1]，x，x∉[－1，1]，若f[f(x)]＝2，则x的取值范围是()A．∅B．[－1,1]C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．{2}∪[－1,1]【答案】D【解析】若x∈[－1,1]，则f(x)＝2，f[f(x)]＝f(2)＝2，符合题意；若x1，则f(x)＝x，f[f(x)]＝f(x)＝x＝2，此时只有x＝2符合题意；若x－1，则f(x)＝x，f[f(x)]＝f(x)＝x＝2，但因为x－1，此时没有x符合题意．综上，选D．11．若集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e}，则从A到B可以建立不同的映射个数为________．【答案】8【解析】用树状图写出所有的映射为：a→db→dc→d，c→e，b→ec→d，c→e，a→eb→dc→d，c→e，b→ec→d，c→e，共8个．12．已知函数y＝|x－1|＋|x＋2|．-4-(1)作出函数的图象；(2)写出函数的定义域和值域．【解析】(1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x＝1，第二个绝对值的分段点x＝－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，＋∞)，所以已知函数可写为分段函数形式：y＝|x－1|＋|x＋2|＝－2x－1，x≤－2，3，－2x≤1，2x＋1，x1.在相应的x取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求函数的图象，如图．(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为R，值域为[3，＋∞)．