2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）单元测试题 新人教A版必修1

-1-第二章基本初等函数（Ⅰ）能力检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点12，22，则k＋α等于()A．.12B．1C．32D．2【答案】C【解析】由幂函数的定义知k＝1.又f12＝22，所以12α＝22，解得α＝12，从而k＋α＝32.2.已知f(x3)＝lgx，则f(2)等于()A．lg2B．lg8C．lg18D．13lg2【答案】D【解析】令x3＝2，则x＝32，∴f(2)＝lg32＝13lg2.3．(2019年湖北武汉期末)若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是()ABCD【答案】B【解析】若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则a＞1，故函数y＝loga|x|的图象如图所示．故选B.4.下列函数在区间(0,3)内是增函数的是()-2-A．y＝1xB．y＝x12C．y＝13xD．y＝x2－2x－15【答案】B【解析】由幂函数、指数函数性质即得.5.设a＝0.712，b＝0.812，c＝log30.7，则()A．cbaB．cabC．abcD．bac【答案】B【解析】由幂函数性质与对数函数性质有ba0C．6．(2019年广东中山模拟)设函数f(x)＝12x－7，x＜0，x，x≥0，若f(a)＜1，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3)B．(1，＋∞)C．(－3,1)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)【答案】C【解析】当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为12a－7＜1，即12a8，即12a＜12－3，因为0＜12＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为a＜1，所以0≤a＜1.故a的取值范围是(－3,1)．故选C.7.幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，当x∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m的值为()A．m＝2B．m＝－1C．m＝－1或2D．m≠1±52【答案】A【解析】∵y＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数，∴m2－m－1＝1.解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3在(0，＋∞)上为减函数；当m＝－1时，m2－2m－3＝0，y＝x0＝1(x≠0)在(0，＋∞)上为常数函数(舍去)，∴m＝2.8.定义运算a*b＝a，a≤b，b，ab，则函数f(x)＝1]()-3-【答案】A【解析】f(x)＝1*2x＝1，1≤2x，2x，12x，即f(x)＝1，x≥0，2x，x0，故选A.9．(2019年黑龙江哈尔滨期末)已知函数f(x)＝lnx1－x，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a＜b＜1，则ab的取值范围是()A.0，18B．0，16C．0，14D．0，12【答案】C【解析】由题意可知lna1－a＋lnb1－b＝0，即lna1－a×b1－b＝0，从而a1－a×b1－b＝1，化简得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－a－122＋14.又0＜a＜b＜1，所以0＜a＜12，故0＜－a－122＋14＜14.10.设函数f(x)＝loga|x|(a0且a≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系为()A．f(a＋1)＝f(2)B．f(a＋1)f(2)C．f(a＋1)f(2)D．不确定【答案】B【解析】易知f(x)为偶函数，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减.所以0a1.所以1a＋12.所以f(a＋1)f(2).11.已知函数f(x)＝log2x，x＞0，2x，x≤0，则满足f(a)＜12的实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－∞，－1)∪(0，2)C．(0，2)D．(－∞，－1)∪(0,2)【答案】B【解析】当a＞0时，由f(a)＜12，可得log2a＜12＝log22，得0＜a＜2；当a≤0时，由f(a)＜12，可得2a＜12＝2－1，因此得a＜－1.综上所述，a的取值范围是(－∞，－1)∪(0，-4-2).12．(2019年北京模拟)记x2－x1为区间[x1，x2]的长度，已知函数y＝2|x|，x∈[－2，a](a≥0)，其值域为[m，n]，则区间[m，n]的长度的最小值是()A．6B．5C．4D．3【答案】D【解析】令f(x)＝y＝2|x|，则f(x)＝2x，0≤x≤a，2－x，－2≤x＜0.当a＝0时，f(x)＝2－x在[－2,0]上为减函数，值域为[1,4]；当a＞0时，f(x)在[－2,0)上递减，在[0，a]上递增，①当0＜a≤2时，f(x)max＝f(－2)＝4，值域为[1,4]；②当a＞2时，f(x)max＝f(a)＝2a＞4，值域为[1,2a]．综上可知[m，n]的长度的最小值为4－1＝3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13.计算lg14－lg25÷100－12＝________.【答案】－20【解析】lg14－lg25÷100－12＝lg1100÷100－12＝－2÷110＝－20.14．(2019年广西贵港期中)若α∈－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使幂函数y＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的α值的个数为________．【答案】3【解析】∵幂函数y＝xα是奇函数，∴α＝－1，13，1,3.又∵幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，∴α＝13，1,3，即α值的个数为3.15．函数y＝lg(4＋3x－x2)的单调增区间为________．【答案】－1，32【解析】函数y＝lg(4＋3x－x2)的增区间即为函数h(x)＝4＋3x－x2的增区间且4＋3x－x20，因此所求区间为－1，32.16．(2019年吉林长春模拟)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．若不等式1ax＋1bx－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，则m的最大值为________．【答案】56-5-【解析】把A(1,6)，B(3,24)代入f(x)＝b·ax，得6＝ab，24＝b·a3，结合a＞0，且a≠1，解得a＝2，b＝3，所以f(x)＝3·2x.要使12x＋13x≥m在x∈(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y＝12x＋13x在(－∞，1]上的最小值不小于m即可．因为函数y＝12x＋13x在(－∞，1]上为减函数，所以当x＝1时，y＝12x＋13x有最小值56.所以只需m≤56即可．所以m的最大值为56.三、解答题(本大题共6小题，满分70分)17．(10分)已知幂函数f(x)的图象过点(25,5)．(1)求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)＝f(2－lgx)，求g(x)的定义域、值域．【解析】(1)设f(x)＝xα，由题意可知25α＝5，∴α＝12.∴f(x)＝x12.(2)∵g(x)＝f(2－lgx)＝2－lgx，∴要使g(x)有意义，只需2－lgx≥0，即lgx≤2，解得0＜x≤100.∴g(x)的定义域为(0,100]．又2－lgx≥0，∴g(x)的值域为[0，＋∞)．18.(12分)(1)计算：2log32－log3329＋log38－52log53；(2)已知x＝27，y＝64，化简并计算：5x－23y12－14x－1y12－56x13y－16.【解析】(1)原式＝log34－log3329＋log38－52log53＝log34×932×8－5log59＝log39－9＝2－9＝－7.(2)原式＝5x－23y12－14x－1y12－56x13y－16-6-＝5x－23·y12524×x－23·y13＝24y16.又y＝64，∴原式＝24×(26)16＝48.19.(12分)已知函数f(x)＝12ax，a为常数且函数的图象过点(－1,2).(1)求a的值；(2)若g(x)＝4－x－2且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值.【解析】(1)由已知，得12－a＝2，解得a＝1.(2)由(1)，知f(x)＝12x，又g(x)＝f(x)，则4－x－2＝12x，即14x－12x－2＝0，即12x2－12x－2＝0.令12x＝t，则t2－t－2＝0，即(t－2)(t＋1)＝0，又t0，故t＝2，即12x＝2，解得x＝－1.20.(12分)已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)(a＞0，a≠1).(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求f(x)的最值；(2)求不等式f(x)－g(x)＞0成立时x的取值范围.【解析】(1)当a＝2时，f(x)＝log2(1＋x)，在[3,63]上为增函数，因此当x＝3时，f(x)最小值为2；当x＝63时f(x)最大值为6.(2)f(x)－g(x)＞0，即f(x)＞g(x).当a＞1时，loga(1＋x)＞loga(1－x)，满足1＋x＞1－x，1＋x＞0，1－x＞0，∴0＜x＜1.当0＜a＜1时，loga(1＋x)＞loga(1－x)，满足1＋x＜1－x，1＋x＞0，1－x＞0，∴－1x＜0.综上，a＞1时，x∈(0,1)；0＜a＜1时，x∈(－1,0).-7-21.(12分)已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0a1).(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值.【解析】(1)要使函数有意义，则有1－x0，x＋30，解得－3x1，故f(x)的定义域为(－3,1).(2)函数可化为f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4].∵－3x1，∴0－(x＋1)2＋4≤4.∵0a1，∴loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4.由loga4＝－2，得a－2＝4，∴a＝4－12＝12.22．(12分)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.(1)若ab0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab0，求f(x＋1)f(x)时x的取值范围．【解析】(1)当a0，b0时，因为函数y＝a·2x和y＝b·3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增；当a0，b0时，因为函数y＝a·2x和y＝b·3x都单调递减，所以函数f(x)单调递减．(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋1＋b·3x＋1－a·2x－b·3x＝a·2x＋2b·3x0.当a0，b0时，32x－a2b，解得xlog32－a2b；当a0，b0时，32x－a2b，解得xlog32－a2b.-8-