人教版九年级数学上册--21.2.4-一元二次方程的根与系数的关系-导学案(含答案)

人教版九年级数学上册第二十一章*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系导学案1、教学目标1．通过求根公式探索并理解根与系数的关系，会用这个关系求方程的两根之和与积或未知数．2．通过对代数式的熟练变形，能根据一元二次方程根与系数的关系求代数式的值．2、预习反馈阅读教材P15～16，完成下列内容．1．完成下列表格：方程x1x2x1＋x2x1x2x2－5x＋6＝02356x2＋3x－10＝02－5－3－10问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律：两根之和为一次项系数的相反数，两根之积为常数项．②x2＋px＋q＝0的两根为x1，x2，用式子表示你发现的规律：x1＋x2＝－p，x1x2＝q．2．完成下列表格：方程x1x2x1＋x2x1x22x2－3x－2＝02－1232－13x2－4x＋1＝01314313问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立)请完善规律：①用语言叙述发现的规律：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比．②ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，用式子表示你发现的规律：x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.3．利用求根公式推导根与系数的关系：ax2＋bx＋c＝0的两根x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a．则x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca．2、例题精讲类型1利用根与系数的关系求方程的两根之和与积例1根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2之和与两根之积：(1)x2－6x－15＝0；(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.解：(1)x1＋x2＝6，x1x2＝－15.(2)x1＋x2＝－73，x1x2＝－3.(3)x1＋x2＝54，x1x2＝14.【点拨】先将方程化为一般形式，找对a，b，c的值，若b2－4ac≥0，则x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.例2已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．【思路点拨】本题有两种解法：一种是根据根的定义，将x＝－3代入方程先求k，再求另一个根；另一种是利用根与系数的关系解答．解：另一根为32，k＝3.【跟踪训练1】已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是(A)A．x2－7x＋12＝0B．x2＋7x＋12＝0C．x2＋7x－12＝0D．x2－7x－12＝0【点拨】以x1，x2为根的一元二次方程是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0.【跟踪训练2】不解方程，求下列方程两个根的和与积．(1)x2－6x＝－5；(2)2x2－1＝3－5x；(3)3x2－3x＝x2；(4)4x2－2x＋1＝x＋8.解：(1)原方程化为x2－6x＋5＝0，所以两根的和为6，两根的积为5.(2)原方程化为2x2＋5x－4＝0，所以两根的和为－52，两根的积为－2.(3)原方程化为2x2－3x＝0，所以两根的和为32，两根的积为0.(4)原方程化为4x2－3x－7＝0，所以两根的和为34，两根的积为－74.类型2根据一元二次方程根与系数的关系求相关代数式的值例3已知α，β是方程x2－3x－5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值．(1)1α＋1β；(2)α2＋β2；(3)α－β.解：∵α，β是方程x2－3x－5＝0的两根，∴α＋β＝3，αβ＝－5.(1)1α＋1β＝α＋βαβ＝－35.(2)α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝32－2×(－5)＝19.(3)∵(α－β)2＝(α＋β)2－4αβ＝32－4×(－5)＝29.∴α－β＝29或－29.【方法归纳】利用根与系数的关系求代数式值的三个步骤及六种常用变形：1．三个步骤：(1)算：计算出两根的和与积；(2)变：将所求的代数式表示成两根的和与积的形式；(3)代：代入求值．2．六种常用变形：(1)x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2；(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；(3)(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1；(4)1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2；(5)x1x2＋x2x1＝x21＋x22x1x2＝（x1＋x2）2－2x1x2x1x2；(6)|x1－x2|＝（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2.【跟踪训练3】若方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为3．【跟踪训练4】已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两根分别是x1，x2，且满足1x1＋1x2＝3，则k的值是2．4、巩固训练1．一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1x2的值是(D)A．4B．－4C．3D．－32．若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，则x1＋x2的值是(B)A．1B．5C．－5D．63．两个实数根的和为3的一元二次方程是(A)A．x2－3x－4＝0B．x2＋3x－4＝0C．x2－3x＋4＝0D．x2＋3x＋4＝04．已知方程x2＋mx＋3＝0的一个根是1，则它的另一个根是3，m的值是－4．5．已知方程x2＋5x＋1＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x21＋x22＝23．6．已知关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m2－2＝0，试根据下列条件，求m的值．(1)两根互为相反数；(2)两根互为倒数．解：设原方程的两个根为x1，x2，由根与系数的关系，得x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2－2.(1)若两根互为相反数，则x1＋x2＝2(m＋1)＝0，解得m＝－1.(2)若两根互为倒数，则x1x2＝m2－2＝1，解得m＝±3，而Δ＝b2－4ac＝[－2(m＋1)]2－4×1(m2－2)≥0，解得m≥－32.因为－3－32，所以m＝－3舍去，因此m＝3.5、课堂小结一元二次方程根与系数的关系：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.