大学物理-光学的衍射

衍射屏观察屏a第二章光的衍射（Diffractionoflight）§1衍射现象、惠更斯——菲涅耳原理一.光的衍射1.现象:*Sλ圆孔λ*S单缝和多缝的衍射单缝衍射屏观察屏L′L光在传播过程中能绕过障碍物的边缘而偏离直线传播的现象。2.定义:近场衍射(1)菲涅耳衍射3.分类:泊松斑屏远场衍射(2)夫琅禾费衍射圆孔的夫琅和费衍射a圆孔屏二.惠更斯——菲涅耳原理波传到的任何一点都是子波的波源，各子波在空间某点的相干叠加，就决定了该点波的强度。§2单缝的夫琅禾费衍射、半波带法一.装置(缝宽)aAB=S:单色光源θ:衍射角θSθpff′a透镜L′透镜LAB缝平面观察屏0δ*C二.半波带法aABaθGG1G2asinθC2λθλsin2c1c2c3θSθpff′aAB0δ*Cœ分成偶数个半波带aθ2BA半波带半波带1λ/2半波带半波带121’2’c22sinλθka±=—暗纹k=1,2,3…λk±=œ分成奇数个半波带2)12(sinλθ+±=kak=1,2,3…—明纹θ↑→波带数↑→光强↓œ不能分成整数个半波带1’2’光强介于最强与最暗之间00==δθ，——中央明纹(中心)OHLœ三、明暗纹条件…，3,2,1sin=±=kkaλθ——暗纹(中心)…，3,2,12)12(sin=′+′±=kkaλθ——明纹中心(近似)0sin=θa——中央明纹(中心)若asinθ不是半波长的整数倍，亮度介于最明和最暗之间。四、光强分布λ/a-(λ/a)2(λ/a)-2(λ/a)sinθ0.0470.0171I/I00相对光强曲线0.0470.017五、条纹宽度ΔxIx1x2衍射屏0观测屏Δx0θ半0θΔθΔI1=4.7%I0I2=1.7%I0I3=0.8%I01.角宽度某一亮纹的角宽度为该亮纹两侧两相邻暗纹中心对透镜光心所张的角度。λ透镜f中央明纹角宽度ΔxIx1x20Δx0θ半0θΔθΔfλθkak±=sinkkθθ≈sinakkλθ=kkkθθθ−=Δ+1aakakλλλ=−+=)1(k级明纹角宽度110−+−=Δθθθ)(aaλλ−−=aλ2=aλθ=Δ半对k级暗纹故k级明纹角宽度中央明纹半角宽度其它次极大——衍射反比定律2.亮纹的线宽度中央亮纹半θtan20fx=Δafλ2=axλ∝Δ0半θf2=θΔ=Δfxafλ=ΔxIx1x20Δx0θ半0θΔθΔfa讨论：F波长对条纹宽度的影响akkλθ=aλθ=Δ半缝宽a一定，λ↑Δθ半↑Δx∝λ，波长越长，条纹宽度越宽afxλ=ΔF缝宽变化对条纹的影响afxxλ=Δ=Δ021缝宽越小，条纹宽度越宽当时，0→λa屏幕上一片亮。当aλ时，I0sinθ∴几何光学是波动光学在λ/a→0时的极限情形.只显出单一的明条纹⎯⎯单缝的几何光学像。0→aλ0→Δx55F白光入射单缝中央白色明纹两侧对称彩带，由紫到红F单缝上下平移，屏上衍射条纹位置不变F以上明、暗纹公式只适用于平行光垂直单缝入射，入射光线倾斜，需考虑入射光的光程差。例：如图所示单缝衍射装置，缝宽a=0.5mm，f=50cm，用可见光照射单缝，在观察屏上x=1.5mm处看到明纹极大，求：（1）入射光的波长及衍射级次。（2）单缝所在处的波阵面被分成的波带数目。ϕf解：(1)明纹2)12(sinλϕ+=kafx=ϕtan5005.1==0.0035°sinϕ=0.003)12(sin2+=kaϕλ710)12(003.05.02×+××=k(Å))12(1034+×=kλ(Å)x(2)半波带数目k=2λ2=6000(Å)k=3λ3=4286(Å)N=2k+1=5N=2k+1=7k=1λ1=10000(Å)红外k=2λ2=6000(Å)k=3λ4=3333(Å)可见光k=4紫外λ3=4286(Å))12(1034+×=kλ(Å)例：波长为λ的单色光以α角斜射到宽度为b的单缝上，如图。求各级暗纹的衍射角。αθABCD解：121、2光线的光程差AD－BC＝bsinθ－bsinα由暗纹条件bsinθ±bsinα＝±kλk=1,2,….)sinarcsin(αλθ∓bk±=θ、α在法线同侧取+θ、α在法线异侧取−§3光学仪器的分辨本领theResolutionofOpticalInstruments一、圆孔的夫琅禾费衍射D@Sθ第一极小的角位置Dλθ22.1sin=L二、光学仪器的分辨本领S1S2**S1S2**S1S2**δθδθ1.瑞利判据：对于两个强度相等的不相干的点光源（物点），一个点光源的衍射图样的主极大刚好和另一个点光源的衍射图样的第一极小相重合时，两个点光源（或物点）恰好为这光学仪器所分辨。2.角分辨率：最小分辨角δθ3.分辨本领（分辨率）R：δθ1=R对圆孔的夫琅禾费衍射Dλθ22.1sin=Dλθθ22.1sin=≈Dλδθ22.1=角分辨率：分辨率：δθ1=Rλ22.1D=讨论：D↑R↑哈勃望远镜物镜直径2.4mλ↓R↑电子显微镜(λ∼10−3nm)S1S2**δθδθ例：在通常亮度下，人眼瞳孔直径为3mm,求人眼的最小分辨角是多大？远处两细丝之间的距离为2.0mm,问细丝离开多远时人眼恰好分辨？解：取λ=550nmDλδθ22.1=391031055022.1−−×××=1)rad(1024.24′≈×=−LsΔ=θS1S2**L恰好分辨LsΔ==θδθ431024.2102−−××=Δ=δθsL＝8.9m一、光栅1.光栅：大量等宽等间距的平行狭缝(或反射面)构成的光学元件。d反射光栅d透射光栅a：透光（或反光）部分的宽度d=a+b⎯光栅常数b：不透光(或不反光)部分的宽度3.光栅常数2.种类：§4光栅衍射晶体−天然光栅一般光栅几十—几千条缝/mm光栅常数d与缝数/cm（刻痕/cm)成倒数关系。abd例：8000/cmbad+=80001==1.25×10−4(cm)光栅缝数NN,d光栅的重要常数。abd透射光栅二、光栅衍射1.装置与光路θθPOP0L多光束干涉+单缝衍射2.多光束干涉dbaθACθ123456dsinθdsinθdsinθ=±kλk=0,1,2…d=a+bP为明纹（主极大）N个A=NA0I=N2I0——光栅方程B0λ/d-(λ/d)-2(λ/d)2λ/dII0sinθN=4光强曲线λ/4d-(λ/4d)-2-1012k极小如N=4,有三个极小1234Δϕ=π/241Δϕ=π1234Δϕ=3π/2极小值位置初相差)(π2nkjnj≠′′=Δϕ合振幅为零θCθ123456dsinθdsinθθλϕsinπ2d=ΔNjπ2′=)2,,0(NNj±±≠′λθjNd′=sin)2,,0(NNj±±≠′——极小值位置])1(),1(,2,1[+−=′NNjλθjNd′±=sin相邻明纹间有（N－1）个暗纹条纹特点：几乎黑的背景上的又细、又亮条纹I=N2I0缝数N很大123456λθjNd′=sin取j’=1λθ=sinNdABCD………………2λ2λslit1slits2slits3slits5slits6slits20AsNincreases,thepatternchangestonarrowmaximaseparatedbywidedarkregions.0λ/d-(λ/d)-2(λ/d)2λ/dII0sinθN=4光强曲线λ/Nd-(λ/Nd)0级与一级明纹的角宽度θ1fdsinθ1=λdsinθ=±kλdλθ=1sin零级与一级最小的角宽度θ′λθ=′sinNdOθ′dλθθ=11sinNdλθ=′Ndλθ22=′Nddλλθθ221′2N=缝数N很大Lθ1相邻主极大之间分布着（N−1)个极小，(N−2)次极大0λ/d-(λ/d)-2(λ/d)2λ/dII0sinθN=4光强曲线λ/4d-(λ/4d)3.单缝衍射λθka±=sinI单sinθ0I0单-2-112λ/ak’−λ/asinθIλ/d-(λ/d)-7-6-5-4-3-2-101234567k-8IN2I0单sinθ048-4(λ/d)单缝衍射轮廓线光栅衍射光强曲线N=4d=4a4.光栅5.缺级定义：当多缝光束干涉的主极大恰好与单缝衍射的极小位置重合时，该级主极大将在屏幕上消失的现象。λθka′±=sink′=1,2…λθθkdba±==+sinsin)(k=0，1,2…单缝衍射极小多光束干涉主极大kadkabak′±=′+±=k′=1,2…——缺级条件例：d=1600nm(16000Å),a=800nm(8000Å)d/a=2kkadk′±=′±=2k’=1,2…缺±2，±4，±6，…例：求单缝衍射中央明纹内的条纹数。d/a=整数解：kadk′±=k′=1adk±=条纹数目：)1(21−+ad12−=ad（条）6.衍射图样特点θθPOP0LƒP0处为明纹，两侧出现明暗相间的花纹。ƒ明纹亮、细锐，亮度随N的增大而增大ƒI=N2I0N↑→明纹越细且条纹明暗对比越强。7.衍射光谱λθkd±=sinλθ∝sin白光入射，k=0白色k≠0两侧按波长顺序排列由中心向外形成紫到红的彩色光谱光谱中有部分谱线重叠(k≠0)8.光栅的分辨本领kNR==δλλN：缝数例：用5000/cm的平面透射光栅观察钠黄光谱线，λ=589.3nm求：(1)光线垂直入射时，第三级谱线的衍射角有多大？(2)光线以30°角入射时，最多可看到几级条纹？解：(1)50001=d(cm)=2×103nmλϕkd±=sink=3dkλϕ±=3sin331023.5893sin××±=ϕ=±0.884ϕ3=±62°12′(2)斜入射λθϕkd±=±)sinsin(k=0，1,2…——光栅方程θ、ϕ在法线的同侧，取+θ、ϕ在法线的两侧，取−ϕABCDθ12θ1’2’E)sinsin(maxθϕλ+±=dk)5.01(3.5891023+×±==±5若垂直入射3.589)90sin(1023max××=k=3.4ϕACDi1’2’EϕABCDθ12+5－5λϕkd±=sin最多可看到3级条纹。§5x射线衍射、布喇格方程x射线波长在0.01nm─10nm间的电磁波。1912年，德国物理学家劳厄成功进行了x射线衍射实验─劳厄实验x射线x射线衍射、布喇格方程d（1Å）OϕϕAB反射波出现衍射花纹的条件为F任一层原子所散射的射线中，按反射定律的反射光线的强度最大，F一系列平行的晶面产生的反射光束发生相长干涉.BCAC+=δCϕsin2d=λk=,3,2,1=k——布喇格方程形成亮点应用ƒ已知晶格结构，测波长ƒ已知波长，了解晶格结构,测d(x射线衍射晶格结构分析）