9.2.2-总体百分位数的估计

9.2.2总体百分位数的估计课标要求素养要求结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义.在学习和应用百分位数的过程中，要把实际问题转化为数学问题，并进行计算，对数据进行分析，发展学生的数学建模、数学运算素养和数据分析素养.教材知识探究某省数学考试结果揭晓，根据规定，0.8%的同学需要补考.问题那么如何确定需要补考的分数线呢？提示利用百分位数计算.1.第p百分位数的定义第50百分位数就是中位数，中位数是百分位数的特例，百分位数是中位数的推广p%一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有_______的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值.2.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步，按___________排列原始数据.第2步，计算i＝n×p%.第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的__________.从小到大平均数3.四分位数25%，50%，75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数.教材拓展补遗[微判断]1.若一组样本数据各不相等，则其75%分位数大于25%分位数.()2.若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23.()3.若一组样本数据的24%分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24.()提示2.若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据小于或等于23.√×√[微训练]1.下列一组数据的第25百分位数是()2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6A.3.2B.3.0C.4.4D.2.5解析把该组数据按照由小到大排列，可得：2.1，3.0，3.2，3.4，3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2，是第25百分位数.答案A2.下列关于一组数据的第50百分位数的说法正确的是()A.第50百分位数就是中位数B.总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%C.它一定是这组数据中的一个数据D.它适用于总体是离散型的数据解析由百分位数的意义可知选项B，C，D错误.答案A[微思考]1.班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里的“90%”是百分位数吗？提示不是.是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比.2.“这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思？提示有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分.题型一百分位数的计算【例1】从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.(1)分别求出这组数据的第25，50，95百分位数；(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量；(3)若用第25，50，95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准.解(1)将所有数据从小到大排列，得7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，因为共有12个数据，所以12×25%＝3，12×50%＝6，12×95%＝11.4，则第25百分位数是8.0＋8.32＝8.15，第50百分位数是8.5＋8.52＝8.5，第95百分位数是第12个数据为9.9.(2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则第15百分位数是第2个数据为7.9.即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8，7.9.(3)由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15g，第50百分位数为8.5g，第95百分位数是9.9g，所以质量小于或等于8.15g的珍珠为次品，质量大于8.15g且小于或等于8.5g的珍珠为合格品，质量大于8.5g且小于或等于9.9g的珍珠为优等品，质量大于9.9g的珍珠为特优品.规律方法计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤：(1)排列：按照从小到大排列原始数据；(2)算i：计算i＝n×p%；(3)定数：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数.【训练1】如图所示是某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的第80百分位数是()A.－2B.0C.1D.2答案D解析由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的排列为：－3，－2，－1，－1，0，0，1，2，2，2，因为共有10个数据，所以10×80%＝8，是整数，则这10天最低气温的第80百分位数是2＋22＝2.题型二百分位数的综合应用【探究1】第p百分位数有什么特点？提示总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p%.【探究2】某组数据的第p百分位数在此组数据中一定存在吗？为什么？提示不一定.因为按照计算第p百分位数的步骤，第2步计算所得的i＝n×p%如果是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数，若第i项与第(i＋1)项数据不相等，则第p百分位数在此组数据中就不存在.【探究3】某市为了鼓励居民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费.(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式；(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民中，今年1月份用电费用低于260元的占80%，求a，b的值；(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数.解(1)当0≤x≤200时，y＝0.5x；当200x≤400时，y＝0.5×200＋0.8×(x－200)＝0.8x－60；当x400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140.所以y与x之间的函数解析式为y＝0.5x，0≤x≤200，0.8x－60，200x≤400，x－140，x400.(2)由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量低于400千瓦时的占80%，结合频率分布直方图可知0.001×100＋2×100b＋0.003×100＝0.8，100a＋0.0005×100＝0.2，解得a＝0.0015，b＝0.0020.(3)设75%分位数为m，因为用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%，用电量低于400千瓦时的占80%，所以75%分位数m在[300，400)内，所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75，解得m＝375(千瓦时)，即用电量的75%分位数为375千瓦时.规律方法由频率分布直方图求百分位数的方法(1)要注意频率分布直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率.(2)一般采用方程的思想，设出第p百分位数，根据其意义列出方程并求解即可.【训练2】某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组(第一组：[20，25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：[40，45])，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人.(1)求x；(2)求抽取的x人的年龄的50%分位数(结果保留整数)；(3)以下是参赛的10人的成绩：90，96，97，95，92，92，98，88，96，99，求这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想.解(1)第一组频率为0.01×5＝0.05，所以x＝50.05＝100.(2)由图可知年龄低于30岁的所占比例为40%，年龄低于35岁的所占比例为70%，所以抽取的x人的年龄的50%分位数在[30，35)内，由30＋5×0.50－0.400.70－0.40＝953≈32，所以抽取的x人的年龄的50%分位数为32.(3)把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列：88，90，92，92，95，96，96，97，98，99，计算10×20%＝2，所以这10人成绩的20%分位数为90＋922＝91，这10人成绩的平均数为110(88＋90＋92＋92＋95＋96＋96＋97＋98＋99)＝94.3.评价：从第20百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高.感想：结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可.一、素养落地1.通过学习和应用百分位数，重点培养数据分析素养、数学运算和数学建模素养.2.求一组数据的百分位数时，掌握其步骤：①按照从小到大排列原始数据；②计算i＝n×p%；③若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数.二、素养训练1.已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是()A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数解析因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，选C.答案C2.数据7.0，8.4，8.4，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第30百分位数是________.解析因为8×30%＝2.4，故30%分位数是第三项数据8.4.答案8.43.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为________.解析样本数据低于10的比例为(0.08＋0.02)×4＝0.40，样本数据低于14的比例为0.40＋0.09×4＝0.76，所以此样本数据的第50百分位数在[10，14)内，估计此样本数据的第50百分位数为10＋0.10.36×4＝1009.答案10094.求下列数据的四分位数.13，15，12，27，22，24，28，30，31，18，19，20，解把12个数据按从小到大的顺序排列可得：12，13，15，18，19，20，22，24，27，28，30，31，计算12×25%＝3，12×50%＝6，12×75%＝9，所以数据的第25百分位数为15＋182＝16.5，第50百分位数为20＋222＝21，第75百分位数为27＋282＝27.5.