DS证据理论

证据理论的诞生和形成诞生：源于20世纪60年代美国哈佛大学数学家A.P.Dempster在利用上、下限概率来解决多值映射问题方面的研究工作。自1967年起连续发表了一系列论文，标志着证据理论的正式诞生。形成：Dempster的学生G.Shafer对证据理论做了进一步的发展，引入信任函数概念，形成了一套基于“证据”和“组合”来处理不确定性推理问题的数学方法，并于1976年出版了《证据的数学理论》(AMathematicalTheoryofEvidence)，这标志着证据理论正式成为一种处理不确定性问题的完整理论。第二章不确定性推理方法—D-S证据理论不确定性推理方法——D-S证据理论D-S证据理论是对贝叶斯推理方法的推广，贝叶斯推理方法是利用概率论中的贝叶斯条件概率公式来进行处理的方法，但是它需要知道先验概率。D-S证据理论不需要知道先验概率，能够很好地表示“不确定”和“不知道”，并且具有推理形式简单等优点，所以被广泛用来处理不确定数据。由于在证据理论中需要的先验数据比概率推理理论中的更为直观、更容易获得，再加上Dempster合成公式可以综合不同专家或数据源的知识或数据，这使得证据理论在专家系统、信息融合等领域中得到了广泛应用。适用领域：信息融合、专家系统、情报分析、法律案件分析、多属性决策分析，等等。证据理论的名称证据理论(EvidentialTheory)Dempster-Shafer理论Dempster-Shafer证据理论DS(或D-S)理论其它叫法：Dempster规则Dempster合成规则Dempster证据合成规则与贝叶斯推理的比较，证据理论具有以下优点：第一，贝叶斯中的概率无法区别一无所知和等可能，而是将一无所知视为等可能。而证据理论可以区分，可以用1)(m表示一无所知，用)()(bmam表示等可能。第二，如果相信命题A的概率为S，那么对于命题A的反的相信程度为：S1。而利用证据理论中的基本概率赋值函数的定义，有1)()(AmAm。第三，概率函数是一个单值函数，信任函数是一个集合变量函数，信任函数可以更加容易表达“粗略”信息。设U是表示X所有取值的一个论域集合，且所有在U内的元素间是互不相容的，则称U为X的识别框架。论域：科学理论中的研究对象，这些对象构成一个不空的集合，称为论域。定义1：设U为一识别框架，则函数1,02:Um满足下列条件：（1）0)(m（2）UAAm1)(时则称)(Am为A的基本概率赋值，)(Am表示对A的信任程度。证据理论的基本概念定义2：]1,0[2:UBel)()()(UABmABelAB称该函数是U上的信任函数（BeliefFunction），表示A的全部子集所对应的基本赋值函数之和。定义3：如果将命题看作识别框架U上的元素，如果有0)(Am，则称A为信度函数Bel的焦元。定义4：()1()()()()BUBABPlsABelAmBmBmBA为U上的似然函数（PlausibilityFunction），似然函数表示不否定A的信任度，是所有与A相交子集的基本概率赋值之和。实际上，[(),()]BelAplA表示命题A的不确定区间；[0,()]BelA表示命题A的完全可信区间；而[0,()]plA则表示对命题“A为真的”的不怀疑区间。Demspter组合规则设1Bel和2Bel是同一识别框架U上的两个信任函数，1m和2m分别是其对应的基本概率赋值，焦元分别为：1A，…kA和1B，…，rB，设：jiBAjiBmAmK1)()(21则：)(CmCCUCKBmAmCBAjiji01)()(21K是冲突因子，反映了证据的冲突程度，1/1k称为归一化因子，该组合规则相当于在组合中将空集（冲突）等比例分配给各个集合。判决规则设存在UAA21,，满足UAAmAmii),(max)(112),(max)(AAUAAmAmiii且若有：)()()()()(12121mAmmAmAm则1A为判决结果，其中1，2为预先设定的门限，为不确定集合。证据理论存在的问题一，无法解决证据冲突严重和完全冲突的情况二，难以辨识所合成证据的模糊程度，由于证据理论中的证据模糊主要来自于各子集的模糊度。根据信息论的观点，子集中的元素个数越多，子集的模糊度越大。三，基本概率分配函数的微小变化会使组合结果产生急剧变化。m1()m2()m12()Peter0.990.000.00Paul0.010.011.00Mary0.000.990.00Dempster合成规则计算举例例1.“Zadeh悖论”：某宗“谋杀案”的三个犯罪嫌疑人组成了识别框架={Peter,Paul,Mary}，目击证人（W1,W2）分别给出下表所示。【要求】：计算证人W1和W2提供证据的组合结果。【解】：首先，计算归一化常数K。12121212()()()()()()()()0.9900.010.0100.990.0001BCKmBmCmPetermPetermPaulmPaulmMarymMary其次，利用Dempster证据合成规则分别计算Peter,Paul,Mary的组合BPA（即组合mass函数）。（1）关于Peter的组合mass函数1212{}121({})()()1({})({})10.990.000.000.0001BCPetermmPetermBmCKmPetermPeterK（2）关于Paul的组合mass函数12121({})({})({})10.010.0110.0001mmPaulmPaulmPaulK（3）关于Mary的组合mass函数1212{}121({})()()1({})({})10.000.990.000.0001BCMarymmMarymBmCKmMarymMaryK【说明】：对于这个简单的实例而言，对于Peter,Paul,Mary的组合mass函数，再求信任函数、似然函数，可知：信任函数值＝似然函数值＝组合后的mass函数值即，Bel({Peter})=Pl({Peter})=m12({Peter})=0Bel({Paul})=Pl({Paul})=m12({Paul})=1Bel({Mary})=Pl({Mary})=m12({Mary})=0例2.若修改“Zadeh悖论”表中的部分数据，如下表所示。请重新计算证人W1和W2提供证据的组合结果。【解】：首先，计算归一化常数K。121212121()()1[()()()()()()]1(0.980.010.980.980.010.98)0.02BCKmBmCmPetermPaulmPetermMarymPaulmMarym1()m2()m12(){Peter}0.9800.49{Paul}0.010.010.015{Mary}00.980.49={Peter,Paul,Mary}0.010.010.005归一化常数K的另一种计算法：12121212121212()()()()()()()()()()()()()()0.980.010.010.010.010.010.010.010.010.980.010.010.02BCKmBmCmPetermmPaulmPaulmPaulmmmPaulmmMarymm1212{}12121({})()()1[({})({})({})()]1(0.9800.980.01)0.490.02BCPetermmPetermBmCKmPetermPetermPetermK（1）计算关于Peter的组合mass函数1212{}1212121({})()()1[({})({})({})()()({})]1(0.010.010.010.010.010.01)0.0150.02BCPaulmmPaulmBmCKmPaulmPaulmPaulmKmmPaul（2）计算关于Paul的组合mass函数1212{}12121({})()()1[({})({})({})({})]1(00.980.010.98)0.490.02BCMarymmMarymBmCKmMarymMarymmMaryK（3）计算关于Mary的组合mass函数1212121()()()1()()10.010.010.0050.02BCmmmBmCKmmK（4）计算关于={Peter,Paul,Mary}的组合mass函数此外，根据信任函数、似然函数的计算公式，可得：即，Bel({Peter})=0.49;Pl({Peter})=0.49+0.005=0.495Bel({Paul})=0.015;Pl({Paul})=0.015+0.005=0.020Bel({Mary})=0.49;Pl({Mary})=0.49+0.005=0.495Bel()=Pl()=0.49+0.015+0.49+0.005=1证据1：假设样本空间，表示战斗机，表示轰炸机，表示其他飞行器，两个证据如下：0)(1.0)(9.0)(:1111CmBmAmm1.0)(9.0)(0)(:2222CmBmAmm1mABC0.90.10A02mB0.9C0.101o0081.009.02o009.001.003o91.0k，0)(Am，1)(Bm，0)(Cm。即两个证据发生严重冲突时，最终的判决结果是B，是A、C的可能性为0，这显然与实际情况不符。更加极端的证据：0.1)(1Am，0.1)(2Bm时，1k，组合规则中的分母为0，D-S组合规则无法进行。难以辨识所合成证据的模糊程度，由于证据理论中的证据模糊主要来自于各子集的模糊度。根据信息论的观点，子集中元素个数越多，子集的模糊度越大。证据2：样本空间},,,{4321oooo，两个证据分别为1m和2m，为证据中的未知部分，考虑下面两种情况1、设}{1oA，}{21ooB，9.0)(11om，1.0)(1m；7.0),(212oom，3.0)(2m，根据组合规则，组合结果为：9.0)(1om，07.0),(21oom，03.0)(m。2、设}{1oA，}{4321ooooB，9.0)(1Am，1.0)(1m；7.0)(2Bm，3.0)(2m，根据组合规则，组合结果为：9.0)(Am，07.0)(Bm，03.0)(m。11om9.01m1.0212oom7.02m3.01om63.021oom07.01om27.0m03.011om9.01m1.04.3212oooom7.02m3.01om63.007.01om27.0m03.04.321oooom基本概率分配函数的微小变化会使组合结果产生急剧变化。证据3：1m：98.0)(1Am，01.0)(1Bm，01.0)(1Cm2m：0)(2Am，01.0)(2Bm，99.0)(2Cm1m2m)0()0()0098.0()0001.0()9702.0()0099.0()0(A98.0A01.0B)0001.0(B)0099.0(C01.0CCBA99.001.0099.0k，0)(Am，01.0)(Bm，99.0)(Cm对其中的1m作改动，2m不变：1m：99.0)(1Am，01.