线性代数章节练习题

线性代数练习题第一章行列式1.1211123111211xxxx中3x的系数为2．计算行列式nnnnnbaaaaabbbD123211210000000000000003计算下列行列式（1）6217213424435431014327427246)2(;222bacacbcbacba（3）1111111111111111xxxx4计算下列n阶行列式axaaaaaxaaaaaxaaaaaxDn111)()1()()1(111nnnnnnnnaaanaaaD5计算n阶行列式),,2,1(00001000100011111321niaaaaaDinn6计算行列式1111222233334444aaaa。7设行列式2235007022220403D求第四行各元素的余子式之和的值。8计算n阶行列式xyyxyxyxDn0000000000009计算行列式311151113D。10计算三阶行列式3241223kkD。11设A,B均为n阶方阵，1*2,3,2BABA求12设三阶矩阵323232,,,,,32其中BA都是三维行向量，且已知2,18BA，求BA。13设A为三阶方阵，1，2，3是三维线性无关的列向量，若211A，322A，133A，则行列式A。行列式答案1．-12．计算行列式nnnnnbaaaaabbbD12321121000000000000000解：由于前n-1行都只有一个元素不为0，由行列式定义知Dn只含一项：b1b2…bn，且符号为,)1()1(2)1(2(),1,,1(nnnn从而nnnnbbbD212)2)(1()1(。3计算下列行列式（1）6217213424435431014327427246)2(;222bacacbcbacba解（1）：cbacbacbacbacbabacacbcbacba222222222222111)(111)(cbacbacbacbacbacba))()()((bcacabcba（2）62110010004431002000327100100062172110004435432000327427100062172134244354310143274272465551029429400211103271110621114431232711104计算下列n阶行列式axaaaaaxaaaaaxaaaaaxDn解1)2]()2([nnaxanxD说明：一定要注意此种形式的行列式；例如：1)]()1([nnxaxnaaxxxxaxxxxaxxxxaD)1()1(01111011110111101nDnn1)1]()1(1[1111nnaanaaaaaaaaaaaaD5计算n阶行列式),,2,1(00001000100011111321niaaaaaDinn解：))(1(000000000000111112213221nniinniinaaaaaaaaaD6计算行列式aaaaa4444333322221111。解：aaaaaaaaaaaaD4444333322221010101044443333222211114aaaaaaaa0000000001111)10(4444333322221111)10(3)10(aa7设行列式2235007022220403D求第四行各元素的余子式之和的值。解：由行列式展开知，D的第四行各元素余子式之和的值为行列式11110070222204031D的值因为将D1接第四行展开得444342411)1()1(AAAAD433442244114)1)(1()1()1)(1(MMM44434241MMMM所以计算1002440437111222043)1)(7(1111007022220403231D2844017444378计算n阶行列式xyyxyxyxDn000000000000解：将行列式按第一列展开得nnnnnyxyxyxyyxyxyxxD1111)1(0000000)1(0000000)1(9计算行列式311151113D。解：311151101)2(311151202311151113D)6)(3)(2(4125)2(411251001)2(10计算三阶行列式3241223kkD。解：32110221)1(321102213241223kkkkD2)1)(1(10010221)1(k11设A,B均为n阶方阵，1*2,3,2BABA求解3244222121111111*nnBABABABA12设三阶矩阵323232,,,,,32其中BA都是三维行向量，且已知2,18BA，求BA。解：223123231222223232323232BABBrBA13设A为三阶方阵，1，2，3是三维线性无关的列向量，若211A，322A，133A，则行列式A。解：法一利用分块矩阵，有),,()AA()(133221321321AA两边取行列式有133221321A1332321221321221323212又∵1，2，3线性无关，∴0321从而得2A法二)()(133221321A110011101)(321两边取行列式得110011101321321A又0321∴2110011101A法三)()(133221321A110011101)(321令321,,P由1，2，3线性无关知P可逆从而1100111011APP由相似的性质知2110011101A第二章矩阵1．已知BCA，其中nACB求),2,1,2(,121。2．设111011001A，求nA3设3100930000200012A，求nA。4设100001010A，APPB1，其中P为三阶逆阵，求220042AB5设A为n阶方阵，*A为A的伴随矩阵1k求*)(kA6设0004131000021000010A，求A中所有元素的代数余子式之和4141ijijA7设121011322A，求1A8已知A,B为三阶方阵，且满足EBBA421，其中E为三阶单位阵（1）证明矩阵A-2E可逆；（2）若200021021B，求矩阵A。9设A是可逆对称阵，且EBA2，化简TTABEBAE11110已知A，B均为3阶方阵，矩阵Z满足EAZBBZABZBAZA其中E为三阶单位阵，则Z=（A）122BA（B）11BABA（C）11BABA（D）条件不满足，不能确定11设矩阵A的伴随矩阵8030010100100001*A，且EBAABA311，其中E为4阶单位阵，求矩阵B。12设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，记100010011P，则（A）APPC1（B）1PAPC（C）APPCT（D）TPAPC13计算2006200710000101098765432110000101014设A为n阶可逆阵，交换A的第i行与第j行后得到B。（1）证明B可逆；（2）求AB-115设三阶方阵111111aAaa，试求R（A）.16设7654654354324321A4000130010204210B则)2(ABAR17设A是mn矩阵，B是nm矩阵，则（A）当mn时，必有0AB（B）当mn时，必有0AB（C）当nm时，必有0AB（D）当nm时，必有0AB18证明()()()RABRARB19A为mp矩阵，B为pn矩阵，若AB=0证明：()()RARBP20设A为n阶矩阵，且A2=A，若()RA.证明()RAEnr，其中E为n阶单位阵21设A与B都是n阶方阵，证明()()RABRB的充要条件是0ABX与0BX同解。矩阵答案1已知BCA，其中nACB求),2,1,2(,121。解：212424212BCAABCBCBCA2)(2))((2AAAAAAA222322)2(…AAnn12用数学归纳法证明当n=2时A2=2A结论成立假设对n-1时结论成立，下证对n也成立AAAAAAAnnnnn122212)(2)2(由归纳原理，结论成立。从而AAnn122设111011001A，求nA解100011010001001000AEB又BEEB所以2212)1(BEnnBnEEBEAnnnnn100011001(1)0100010002001000000nnn3设3100930000200012A，求nA。解由分块矩阵知CBA00，其中2012B，3193C∴nnnCBA00又PEB200102002∴PEnEPEBnnnn1)2()2(2nnnn20221而3193的秩为1，有3193631931nn从而111116360069630000200022nnnnnnnnnA4设100001010A，APPB1，其中P为三阶逆阵，求220042AB解∵APPB1∴PAPB200412004又