05-第五节数学建模——最优化.doc

第五节数学建模——最优化在实际应用中，常常会遇到最大值和最小值的问题．如用料最省、容量最大、花钱最少、效率最高、利润最大等．此类问题在数学上往往可归纳为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题．分布图示★最大值最小值的求法★例1★例2★例3★例4★例5★例6★例7★对抛射体运动建模★例8★例9★在经济学中的应用★例10★例11★例12★例13★例14★例15★例16★内容小结★课堂练习★习题3-5★返回内容要点一、求函数的最大值与最小值在实际应用中，常常会遇到求最大值和最小值的问题.如用料最省、容量最大、花钱最少、效率最高、利润最大等.此类问题在数学上往往可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题.求函数在],[ba上的最大（小）值的步骤如下：（1）计算函数)(xf在一切可能极值点的函数值，并将它们与),(af)(bf相比较，这些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；（2）对于闭区间],[ba上的连续函数)(xf，如果在这个区间内只有一个可能的极值点，并且函数在该点确有极值，则这点就是函数在所给区间上的最大值（或最小值）点.二、对抛射体运动建模三、光的折射原理四、在经济学中的应用例题选讲例1(E01)求14123223xxxy的在]4,3[上的最大值与最小值.解),1)(2(6)(xxxf解方程,0)(xf得.1,221xx计算;23)3(f;34)2(f;7)1(f;142)4(f比较得最大值,142)4(f最小值.7)1(f例2求函数xxy2sin在2,2上的最大值及最小值.解函数xxy2sin在2,2上连续,,12cos2)(xyxf令,0y得.6x,22f,22f,6236f.6236f故y在2,2上最大值为,2最小值为.2例3(E02)设工厂A到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,如图3-5-4.现在要在铁路BC中间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每km的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?解xBD(km),xCD100(km),.2022xAD铁路每公里运费,3k公路每公里,5k记那里目标函数(总运费)y的函数关系式:CDkADky35即).1000()100(340052xxkxky问题归结为：x取何值时目标函数y最小.求导得,340052xxky令0y得15x(km).由于.26100)100(,380)15(,400)0(kykyky从而当15BD(km)时，总运费最省.例4(E03)某房地产公司有50套公寓要出租,当租金定为每月180元时,公寓会全部租出去.当租金每月增加10元时,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入?解设房租为每月x元，租出去的房子有1018050x套，每月总收入为,1068)20(1018050)20()(xxxxxR,570101)20(1068)(xxxxR解,0)(xR得350x(唯一驻点).故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为10890)350(R(元).求函数的最大值最小值例5求内接于椭圆12222byax而面积最大的矩形的各边之长.解设),(yxM为椭圆上第一象限内任意一点，则以点M为一顶点的内接矩形的面积为,0,422)(22axxaxabyxxS且.0)()0(aSS22222222244)(xaxaabxaxxxaabxS由,0)(xS求得驻点20ax为唯一的极值可疑点.依题意,)(xS存在最大值,故20ax是)(xS的最大值,最大值abaaaabS222422max对应的y值为,2b即当矩形的边长分别为,2ab2时面积最大.例6由直线8,0xy及抛物线2xy围成一个曲边三角形,在曲边2xy上求一点,使曲线在该点处的切线与直线0y及8x所围成三角形面积最大.解根据几何分析,所求三角形面积为),80)(16(2182102000xxxxS由,0)1616643(41020xxS解得,3160x160x(舍去).,08316nS274096316S为极大值.故274096316S三角形为所有中面积的最大者.例7求数列nnenna122}{2的最大项(已知3723e).解令,1),122()(22xxxexfx则)86(21)(22xxexfx由,0)(xf得唯一驻点.173x当)173,1(x时,;0)(xf当),173(x时,;0)(xf所以当时,173x时,函数)(xf取得极大值,由于,81737又,23)7(7ef,36)8(4ef,136373623)8()7(eff因此当7n时,得数列的最大项,7a.23)7(77efa例8(E04)在地面上以400m/s的初速度和3的抛射角发射一个抛射体.求发射10秒后抛射体的位置.解由400vm/s，3，10t，则2000103cos40010x2974108.921103sin400102y即发射10秒后抛射体离开发射点的水平距离为2000米，在空中的高度为2974米.虽然由参数方程确定的运动轨迹能够解决理想抛射体的大部分问题.但是有时我们还需要知道关于它的飞行时间、射程（即从发射点到水平地面的碰撞点的距离）和最大高度.由抛射体在时刻0t的竖直位置解出t.021singtvt0t，gvtsin2．因为抛射体在时刻0t发射，故gvtsin2必然是抛射体碰到地面的时刻.此时抛射体的水平距离，即射程为2sincos2sin2sin2gvtvtxgvtgvt.当12sin时即4时射程最大.抛射体在它的竖直速度为零时，即0singtvxy从而gvtsin，故最大高度gvgvggvvxygvt2sinsin21sinsin22sin.根据以上分析，不难求得例８中的抛射体的飞行时间、射程和最大高度：飞行时间70.703sin8.94002sin2gvt（秒）射程1413932sin8.94002sin22maxgvx（米）最大高度61228.923sin4002sin22maxgvxy（米）例9(E05)在1992年巴塞罗那夏季奥运会开幕式上的奥运火炬是由射箭铜牌获得者安东尼奥·雷波罗用一枝燃烧的箭点燃的,奥运火炬位于高约21米的火炬台顶端的圆盘中,假定雷波罗在地面以上2米距火炬台顶端圆盘约70米处的位置射出火箭,若火箭恰好在达到其最大飞行高度1秒后落入火炬圆盘中,试确定火箭的发射角和初速度0v.(假定火箭射出后在空中的运动过程中受到的阻力为零,且，2/10smg，5.469.2022arctan5.46sin0.725)解建立如图所示坐标系,设火箭被射向空中的初速度为0v米/秒,即）（sin,cos000vvv,则火箭在空中运动t秒后的位移方程为tytxts,=），（2005sin2costtvtv.2mmaxy21myxO917mv0火箭在其速度的竖直分量为零时达到最高点,故有010sin5sin2020tvttvdttdysin100vt,于是可得出当火箭达到最高点1秒后的时刻其水平位移和竖直位移分别为22000110sin2170cos2.31sin10cos)(0vvvtxvt）（21320sin)(220110sin0vtyvt解得：22sin0v,9.20cos0v,从而9.2022tan5.46又5.4622sin0，v3.300v(米/秒)所以,火箭的发射角和初速度0v分别约为5.46和3.30米/秒.例10(E06)设每月产量为x吨时,总成本函数为4900841)(2xxxC(元)，求最低平均成本和相应产量的边际成本.解又.09800)140(3xC故140x是)(xC的极小值点，也是最低平均成本为7814049008)140(41)140(C(元).边际成本函数为.821)(xxC故当产量为140吨时，边际成本为78)140(C(元).例11(E07)某人利用原材料每天要制作5个贮藏橱.假设外来木材的运送成本为6000元，而贮存每个单位材料的成本为8元.为使他在两次运送期间的制作周期内平均每天的成本最小，每次他应该订多少原材料以及多长时间订一次货？解设每x天订一次货，那么在运送周期内必须订x5单位材料.而平均贮存量大约为运送数量的一半，即25x.因此每个周期的成本=运送成本+贮存成本=8256000xx平均成本xxxxC206000每个周期的成本，0x由2060002xxC解方程0xC，得驻点32.173101x，32.173102x（舍去）.因312000xxC，则01xC，所以在32.173101x天处取得最小值.贮藏橱制作者应该安排每隔17天运送外来木材85175单位材料.例12（E08）某计算器零售商店每年销售360台计算器.库存一台计算器一年的费用是8元.为再订购，需付10元的固定成本，以及每台计算器另加8元.为最小化存贷成本，商店每年应订购计算器几次？每次批量是多少？解设x表示批量.存货成本表示为)(xC(年度持产成本)+(年度再订购成本).我们分别讨论年度持产成本和年度再订购成本.现有平均存货量是2/x,并且每台库存花费10元.因而.428)()(xx平均台数每台年度成本年度持产成本已知x表示批量.又假定每年再订购n次.于是360nx./360xn因而年度再订购成本=(每次订购成本)(再订购次数).28803600360)810(xxx因此.288036004)(xxxC令,036004)(2xxC解得驻点.30x又.0100000)(3xxC因为在区间[1,360]内只有一个驻点,即,30x所以在30x处有最小值.因此,为了最小化存货成本,商店应每年订货1230360（次）.例13（E09）再讨论例12,除了把存货成本8元改为9元,采用例3给出的所有数据.为使存货成本最小化,商店应按多大的批量再订购计算器且每年应订购几次?解把这个例子与例6作比较,求其存货成本,它变成.3240360029360)910(29)(xxxxxxC然后求),(xC令它等于0来求解:x0360029)(2xxC.2.28800x因为每次再订购28.2台没有意义,考虑与28.2最接近的两个整数,它们是28和29.现在有57.3494)28(C元和64.3494)29(C元.由此可得,最小化存货成本的批量是28,尽管相差0.07元并不重要.(注意:这一步骤不是对所有类型的函数都能行得通,但