中考复习专题：二次函数应用题解析版

中考复习专题6：二次函数应用题（一）1.已知每千克脐橙的成本价为6元，在销售脐橙的这40天时间内，销售单价x（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系式为x=41t+16（1≤t≤40，且t为整数），日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系式为y=-2t+200（1≤t≤40，且t为整数）（1）请你直接写出日销售利润w（元）与时间第t（天）之间的函数关系式；（2）该店有多少天日销售利润不低于2400元？（3）在实际销售中，该店决定每销售1千克脐橙，就捐赠m（m＜7）元给希望工程，在这40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．【解答】（1）由题意可得，w=（x-6）y=（41t+16-6）（-2t+200）=−21t2+30t+2000，即日销售利润w（元）与时间第t（天）之间的函数关系式是w=−21t2+30t+2000；（2）令−21t2+30t+2000≥2400，解得，20≤t≤40，40-20+1=21，答：该店有21天日销售利润不低于2400元；（3）由题意可得，w=（x-6-m）y=（41t+16-6-m）（-2t+200）=−21t2+（30+2m）t+2000-200m，∵在这40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，∴-212230m＞39.5，解得，m＞4.75，又∵m＜7，∴4.75＜m＜7，即m的取值范围为4.75＜m＜7．2.某大学生利用暑假40天社会实践参与了某公司旗下一家加盟店经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示：销售量p（件）p=50-x销售单价q（元/件）当1≤x≤20时，q=30+21x当21≤x≤40时，q=20+x525（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件（2）这40天中该加盟店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，公司为鼓励加盟店接收大学生参加实践活动决定每销售一件商品就发给该加盟店m（m≥2）元奖励．通过该加盟店的销售记录发现，前10天中，每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大，求m的取值范围．【解答】（1）当1≤x≤20时，30+21x=35，解得x=10；当21≤x≤40时，20+x525=35，解得x=35（2）当1≤x≤20时，w=（30+21x-20）（50-x）=-21（x-15）2+612.5，当x=15时，w有最大值为612.5当21≤x≤40时，w=（20+x525-20）（50-x）=x26250-525，当x=21时，w有最大值为725∵612.5＜725，∴第21天时获得最大利润，最大利润为725（3）W=−21x2+15x+500+m（50-x）=-−21x2+（15-m）x+500+50m，∵前10天每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大，∴对称轴为x=15-m≥9.5，解得：m≤211∴2≤m≤211．3.某品牌服装公司经过市场调査，得到某种运动服的月销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、月销售量、月销售利润w（元）的三组对应值如下表：注：月销售利润=月销售量×（售价一进价）售价x（元/件）130150180月销售量y（件）21015060月销售利润w（元）10500105006000（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）当售价是多少时，月销售利润最大？最大利润是多少元？（3）为响应号召，该公司决定每售出1件服装，就捐赠a元（a＞0），商家规定该服装售价不得超过200元，月销售量仍满足上关系，若此时月销售最大利润仍可达9600元，求a的值．【解答】（1）y关于x的函数解析式为y=-3x+600；（2）运动服的进价是：130-10500÷210=80（元）月销售利润w=（x-80）（-3x+600）=-3x2+840x-48000=-3（x-140）2+10800∴当售价是140元时，月销售利润最大，最大利润为10800元；（3）由题意得：w=（x-80-a）（-3x+600）=-3x2+（840+3a）x-48000-600a∴当x=140+21a时，w有最大值．∵a＞0，且a≤140-80∴140＜140+21a≤170＜200∵商家规定该服装售价不得超过200元，此时月销售最大利润仍可达9600元，∴当x=140+21a时，有3-43840600-48000-3-42aa＝9600，解得，a=120-802，或a=120+802（舍去），故a=120-802．4.农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：销售价格x（元/千克）3035404550日销售量p（千克）6004503001500（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润-日支出费用）【解答】（1）p=-30x+1500，（2）设日销售利润w=p（x-30）=（-30x+1500）（x-30）即w=-30x2+2400x-45000，∴当x=40时，w有最大值3000元，故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；（3）日获利w=p（x-30-a）=（-30x+1500）（x-30-a），即w=-30x2+（2400+30a）x-（1500a+45000），对称轴为x=40+21a，①若a＞10，则当x=45时，w有最大值，即w=2250-150a＜2430（不合题意）；②若a＜10，则当x=40+21a时，w有最大值，将x=40+21a代入，可得w=30（41a2-10a+100），当w=2430时，2430=30（41a2-10a+100），解得a1=2，a2=38（舍去），综上所述，a的值为2．5.公司以10元/千克的价格收购一批产品进行销售，经过市场调查获悉，日销售量y（千克）是销售价格x（元/千克）的一次函数，部分数据如表：销售价格x（元/千克）1015202530日销售量y（千克）300225150750（1）直接写出y与之间的函数表达式；（2）求日销售利润为150元时的销售价格；（3）若公司每销售1千克产品需另行支出a元（0＜a＜10）的费用，当20≤x≤25时，公司的日获利润的最大值为1215元，求a的值．【解答】（1）设一次函数解析式为y=kx+b（≠0），把x=10，y=300和x=20，y=150代入得150＝b+20k300＝b+10k，解得：450＝b15-＝k∴y=-15x+450；（2）设日销售利润w=y（x-10）=（-15x+450）（x-10）即w=-15x2+600x-4500，当w=150时，150=-15x2+600x-4500，解得，x=20±310答：日销管利润为150元时的销售价格为（20+310）元或（20-310）元；（3）日获利w=y（x-10-a）=（-15x+450）（x-10-a），即w=-15x2+（600+15a）x-（450a+4500），对称轴为x=20+21a，∵0＜a＜10，∴20＜20+21a＜25，∴当x=20+21a时，w有最大值，为w=415a2-150a+1500=1215，解得a1=2，a2=38＞10（舍去），综上所述，a的值为2．6.周师傅家的猕猴桃成熟上市后，她记录了10天的销售数量和销售单价，其中销售单价y（元/千克）与时间第x天（x为整数）的数量关系为y=-x+16，日销售量p（千克）与时间第x天（x为整数）的部分对应值如表所示：时间第x天135710日销量p（千克）320360400440500（1）从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画p随x的变化规律，请直接写出p与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）在这10天中，哪一天销售额达到最大？最大销售额是多少元？（3）周师傅决定每销售1千克桃就捐款a（a＞1）元，且希望每天的销售额不低于1500元以维持各项开支，求a的最大值．【解答】（1）p=20x+300（1≤x≤10，且x为整数）；（2）设销售额为W元，则W=py=（20x+300）（-x+16）=-20x2+20x+4800=-20（x-0.5）2+4805，∵x是整数，1≤x≤10，∴当x=1时，W有最大值为4800．综上，在这10天中，第1天销售额达最大，最大销售额为4800元．（3）销售额为W=p（y-a）=（20x+300）（-x+16-a）=-20x2+20（1-a）x+4800-300a，对称轴为x=21a，∵a＞1，∴21a＜0，又抛物线的开口向下，∴在1≤x≤10范围内W随x的增大而减小，故在x=10时取得最小值=-20×102+20（1-a）×10+4800-300a=3000-500a，令3000-500a≥1500，解得a≤3．故a的最大值为3．7.某网点销售一种儿童玩具，每件进价30元，规定单件销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现，当销售单价定为40元时，每天可售出500件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件，该网点决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y件．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）当销售单价是多少元时，网店每天获利8960元？（3）网店决定每销售1件玩具，就捐赠a元（2＜a≤7）给希望工程，每天扣除捐赠后可获得最大利润为8120元，求a的值．【解答】（1）由题意得，y=500-10（x-40）=-10x+900；即y与x之间的函数关系式为：y=-10x+900（40≤x≤61）；（2）根据题意得，（-10x+900）（x-30）=8960，解得：x1=62，x2=58，∵40≤x≤61，∴x=58，答：当销售单价是58元时，网店每天获利8960元；（3）设每天扣除捐赠后可获得利润为W，根据题意得，W=（-10x+900）（x-30-a）=-10x2+（1200+10a）x-900（30+a）=-10（x-2120a）2+25（a-60）2∵对称轴x=60+21a，40≤x≤61，2＜a≤7，∴61＜21a+60≤6321，∴x=61时，每天扣除捐赠后可获得最大利润为8120元，-10（x-2120a）2+25（a-60）2取得最大值8120∴（61-30-a）（900-10×61）=8120，解得a=3答：a的值为3．8.某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg）销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①y与x满足一次函数关系，且当x=32时，y=39；x=40时，y=35．②m与x的关系为m=5x+50．（1）y与x的关系式为；（2）当34≤x≤50时，求第几天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？（3）若在当天销售价格的基础上涨a元/kg（0＜a＜10），在第31天至42天销售利润最大值为6250元，求a的值．【解答】（1）y与x的关系式为：y=-21x+55，（2）根据题意得，W=（y-18）m=−25x2+160x+1850=−25(x−32)2+4410，∵a＜0，抛物线开口向下，∴当34≤x≤50时，W随x的增大而减小，故当x=34时，Wmax=4400元；（3）根据题意得，W=（y+a-18）m=−25x2+(160+5a)x+50a+1850，∵a＜0，抛物线开口向下，对称轴x=32+a，∵0＜a＜10，∴32＜32+a＜42，∵31≤x≤42，∴当x=32+a时，Wmax=（21a+21）（5a+210）=25（a+42）2=625