2016年全国卷1数学文科试卷解析

2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,3,5,7}A，{|25}Bxx，则AB答案：B解析：常规的集合习题，考察交集的运算性质。2.设(12i)(i)a的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=答案：A解析：本题考察复数实部虚部的基本概念，展开化简可得(2)(21)aai，所以221aa，即3a.3.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是答案：C.解析：本题考察古典概率。从基本情况出发只要确定一个花坛的颜色，另一个花坛随之确定，所以有我们只需要确定一个花坛就好，因此有以下情况：红黄，红白，红紫，黄白，黄紫，白紫六种情况；其中红紫不在一起的情况有四种，所以答案234.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知5a，2c，2cos3A，则b=答案：D解析：本题考察余弦定理，根据题目条件画出图形可以列出等式2222cosabcbcA,带入已知条件化简可得23830bb，解得3b.5.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为A．{1,3}B．{3,5}C．{5,7}D．{1,7}A．－3B．－2C．2D．3A．13B．12C．23D．56A．2B．3C．2D．3答案：B解析：如图，利用△BOF的面积可得1122bcaOD，带入已知条件化简得12cea6.若将函数y=2sin(2x+π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为答案：D解析：该函数的周期为2T,所以函数向右平移4，得2sin(2())46yx，化简可得y=2sin(2x–π3).7.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是答案：A解析：该图形的直观图如图所示，所以此图属于切割体，切去了该球18的体积，根据体积公式34=3Vr球，有317428(1)=8833Vr球，解得2r。所以表面积227=438SSSrr球截面,即17S.8.若0ab，01c，则答案：B解析：本题属于指对数比较大小问题.9.函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为A．B．C．D．A．13B．12C．23D．34A．y=2sin(2x+π4)B．y=2sin(2x+π3)C．y=2sin(2x–π4)D．y=2sin(2x–π3)A．17πB．18πC．20πD．28πA．loglogabccB．loglogccabC．ccabD．abcc答案：D解析：根据选择图像的步骤和排除法选择。函数在定义域中为偶函数且0)2(f，排除A；当0x求导xexy4，即0)0(f，0)21(f。因此极值点一定在)21,0(，因此答案选D.10.执行右面的程序框图，如果输入的0,1,xyn=1,则输出,xy的值满足答案：C解析：根据程序图可得最终输出23x，6y，代入四个选项可得C，即答案为C.11.平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A,11//CBD平面,ABCDm平面，11ABBAn平面，则m，n所成角的正弦值为答案：A.解析：画出大概图形，在前面和下面各接一个正方体可以得到m、n两边，根据异面直线所求角的方法将两个移到一个三角形中即BDA1△，易得m、n所成角的正弦值为23，即答案为A.12.若函数1()sin2sin3fxx-xax在,单调递增，则a的取值范围是答案：C解析：此题考察恒成立问题，对原函数求导可得2245'()1cos2coscoscos333fxxaxxax，若原函数在R上单调递增，则'()0fx恒成立，设cos,([1,1])xtt，24'3503ytat,分别带入1t和1t，解得11,33.A．2yxB．3yxC．4yxD．5yxA．32B．22C．33D．13A．1,1B．11,3C．11,33D．11,3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题-第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二.填空题：本大题共3小题，每小题5分13.设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且a⊥b，则x=.答案：23解析：本题考察向量垂直的坐标运算，由题意知：0ab，所以320x，即23x14.已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=.答案：43解析：本题考察同角的三角函数关系，三角函数的符号判断以及诱导公式的运用：cos()43cos()sin()4245，因为θ是第四象限角，且cos()435，所以4也在第四象限，即4sin()45，所以sin()44tan()43cos()4.15.设直线2yxa与圆C：22220xyay相交于A，B两点，若||23AB，则圆C的面积为。答案：4解析：此题考察直线与圆的位置关系，点到直线的距离等公式；直线方程的一般式可以写作：20xya，圆的标准方程为：222()2xyaa，则圆心到直线的距离为：0022||||2AxByCadAB，利用勾股定理有：222()()22aABr，解得2a，所以半径为2r，所以面积为416.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元。答案：216000解析：根据题目可得目标函数为yxz9002100，可行域满足的不等式组为0060035903.03003yxyxyxyx，根据线性规划可得目标函数的最大值为216000.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分）已知na是公差为3的等差数列，数列nb满足12111==3nnnnbbabbnb1，，，.（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）求nb的前n项和.解析：（Ⅰ）由11nnnnabbnb知1221abbb带入已知条件得：12a所以由1(1)naand得31nan（Ⅱ）由（Ⅰ）知11nnnnabbnb，即1(31)nnnnbbnb所以113nnbb，所以nb是一个以1为首项，13为公比的等比数列其前n项和为:111[1()](1)31113nnbqq331()223n18.（本题满分12分）如图，在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.（Ⅰ）证明G是AB的中点；（Ⅱ）在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．解析：（Ⅰ）证明：∵D为P在面ABC的正投影，∴PD⊥面ABC∴PD⊥AB又∵E为D在面APB的正投影∴DE⊥面APB∴DE⊥AB∴AB⊥面PGD∴AB⊥PG又∵正三棱锥P-ABC，∴PA=PB∴G为AB的中点（三线合一）（Ⅱ）正三棱锥ABCP中PCPBPA，且各面都为直角三角形，因PBPA、PBPC、PCPA，所以PBPAC平面，作PBEF//交PA于F,则PACEF平面，所以F为E在平面PAC内的投影;正三棱锥ABCP中，D为三角形ABC的重心，6PA，26AB，因此6DG,23PG，32PD，在三角形PGD中，由射影定理可得22PE，又因为三角形PAB为等腰直角三角形，PAEF，2PFEF，因此22*2*21SPEF△，PEFD的高为DE,根据等面积法可以得到DE=2，因此四面体的体积为342*2*3119.（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数.（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？解析：（Ⅰ）3800,16193800(19)500,19xyxx（Ⅱ）此题要求为求平均值，即160.06170.16180.24190.24200.2210.1=18.66，所以n最小取19.（Ⅲ）若都购买19个易损零件，则费用为：192007020500250010286000元若都购买20个易损零件，则费用为：209020050010410000元所以每一台机器购买19个零件划算.20.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，直线:(0)lytt交y轴于点M，交抛物线C：22(0)ypxp于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.（Ⅰ）求OHON；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.解析：（Ⅰ）如图所示：已知(0,)Mt,P点纵坐标与M相同，所以带入抛物线求得2(,)2tPtp又∵N点是M点关于P的对称点，所以2(,)tNtp,设ON所在直线方程为ykx，带入点N解得pkt，所以直线为pyxt联立直线与抛物线方程解得22(,2)tHtp∴2HNOHxONx（Ⅱ）不存在除H以外的公共点。由（Ⅰ）知(0,)Mt,22(,2)tHtp可得MH所在直线方程为2pyxtt，与抛物线方程联立消去y得：222204pxpxtt该方程Δ=0，所以表明直线与抛物线只有一个交点。所以不存在H以外的交点。21.（本小题满分12分）已知函数2()(2)(1)xfxxeax.（Ⅰ）讨论()fx的单调性；（Ⅱ）若()fx有两个零点，求a的取值范围.解析：（Ⅰ）'()(2)(1)xfxeax①当0a时，'()0fx解得1x；'()0fx解得1x；②当2ea时，'()0fx解得ln2xa或者1x；'()0fx解得1ln2xa③2ea，'()0fx解得1x或者ln2xa；'()0fx解得ln21ax④2ea，'()0fx恒成立；（Ⅱ）设0)(xf即0)1()2(2xaexx，当1x时等式不成立。当1x时，2)1()2(xexax，设2)1()2()(xexxgx，因此42)1()54()1()(xxxexxgx；当1x时2)1()2()(xexxgx单调递减，当1x时2)1()2()(xexxgx单调递增，而且