第2章-第8节-函数与方程

第二章函数与基本初等函数数学（理用）考点技法·全突破学科素能·重培养课时跟踪检测主干回顾·夯基础第八节函数与方程第二章函数与基本初等函数数学（理用）考点技法·全突破学科素能·重培养课时跟踪检测主干回顾·夯基础考纲要求1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.第二章函数与基本初等函数数学（理用）考点技法·全突破学科素能·重培养课时跟踪检测主干回顾·夯基础主干回顾·夯基础第二章函数与基本初等函数数学（理用）考点技法·全突破学科素能·重培养课时跟踪检测主干回顾·夯基础一、函数的零点1．定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．2．函数的零点与方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与_____有交点⇔函数y＝f(x)有______．f(x)＝0x轴零点第二章函数与基本初等函数数学（理用）考点技法·全突破学科素能·重培养课时跟踪检测主干回顾·夯基础3．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_________，那么函数y＝f(x)在区间_______内有零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个___也就是方程f(x)＝0的根．f(a)·f(b)0(a，b)f(c)＝0c第二章函数与基本初等函数数学（理用）考点技法·全突破学科素能·重培养课时跟踪检测主干回顾·夯基础二、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系Δ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴的交点_____，_____(x1,0)无交点零点x1，x2x1无(x1,0)(x2,0)第二章函数与基本初等函数数学（理用）考点技法·全突破学科素能·重培养课时跟踪检测主干回顾·夯基础三、用二分法求方程的近似解1．二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且___________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间___________，使区间的两个端点逐步逼近_____，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．f(a)·f(b)0一分为二零点第二章函数与基本初等函数数学（理用）考点技法·全突破学科素能·重培养课时跟踪检测主干回顾·夯基础2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(1)确定区间[a，b]验证f(a)·f(b)0；给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点值c；(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．(4)判断是否达到精确度ε.即：若|a－b|ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第(2)(3)(4)步．第二章函数与基本初等函数数学（理用）考点技法·全突破学科素能·重培养课时跟踪检测主干回顾·夯基础判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)1．函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()2．函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)0.()3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac0时没有零点．()4．二分法可用来求出所有情况的零点的近似值．()5．若函数有零点，则相邻两个零点间的所有函数值同号．()第二章函数与基本初等函数数学（理用）考点技法·全突破学科素能·重培养课时跟踪检测主干回顾·夯基础【答案及提示】1．×函数的零点即为函数图象与x轴交点的横坐标，零点不是点．错误．2．×如y＝x2在(－1,1)上有零点，而f(－1)·f(1)0，错误．3．√由判别式知正确．4．×对于函数y＝x2的零点不能用二分法求解，二分法的前提是要求在零点左右的函数值异号，错误．5．√正确．第二章函数与基本初等函数数学（理用）考点技法·全突破学科素能·重培养课时跟踪检测主干回顾·夯基础1．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________．解析：(－2,0)∵函数f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上有零点，又∵f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上单调递增，∴f(0)·f(1)0.即a(a＋2)0，解得－2a0.第二章函数与基本初等函数数学（理用）考点技法·全突破学科素能·重培养课时跟踪检测主干回顾·夯基础2．已知函数f(x)＝lnx－x＋2有一个零点所在的区间为(k，k＋1)(k∈N*)，则k的值为________．解析：3f(1)＝10，f(2)＝ln20，f(3)＝ln3－10，f(4)＝ln4－20，故f(3)·f(4)0，所以函数的一个零点所在区间为(3,4)，因此k＝3.第二章函数与基本初等函数数学（理用）考点技法·全突破学科素能·重培养课时跟踪检测主干回顾·夯基础3．(课本习题改编)函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续的且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f(－1)·f(1)的值()A．大于0B．小于0C．等于0D．无法确定解析：选D因为f(x)在(－2,2)有一个零点，不能说明f(－2)·f(2)的符号；如f(x)＝x2，更不能判断f(－1)·f(1)的值．故选D.第二章函数与基本初等函数数学（理用）考点技法·全突破学科素能·重培养课时跟踪检测主干回顾·夯基础解析：选C由题意知f(2)·f(3)0，故零点所在区间为(2,3)，选C.4．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似零点，验证f(2)·f(4)0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x1)0，则此时零点x0所在的区间为()A．(2,4)B．(3,4)C．(2,3)D．(2.5,3)第二章函数与基本初等函数数学（理用）考点技法·全突破学科素能·重培养课时跟踪检测主干回顾·夯基础5．(2012·天津高考)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选B先判断函数的单调性，再确定零点的个数．因为f′(x)＝2xln2＋3x20，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－10，f(1)＝2＋1－2＝10，所以有1个零点．第二章函数与基本初等函数数学（理用）考点技法·全突破学科素能·重培养课时跟踪检测主干回顾·夯基础考点技法·全突破第二章函数与基本初等函数数学（理用）考点技法·全突破学科素能·重培养课时跟踪检测主干回顾·夯基础(1)(2013·天津高考)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．4函数零点的求解与判断第二章函数与基本初等函数数学（理用）考点技法·全突破学科素能·重培养课时跟踪检测主干回顾·夯基础解析：选B函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点也就是方程2x|log0.5x|－1＝0的根，即2x|log0.5x|＝1，整理得|log0.5x|＝12x.令g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝12x，作g(x)，h(x)的图象如图所示．因为两个函数图象有两个交点，所以f(x)有两个零点．第二章函数与基本初等函数数学（理用）考点技法·全突破学科素能·重培养课时跟踪检测主干回顾·夯基础(2)(2014·潍坊检测)设函数y＝x3与y＝12x－2的图象的交点坐标为(x0，y0)，则x0所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)第二章函数与基本初等函数数学（理用）考点技法·全突破学科素能·重培养课时跟踪检测主干回顾·夯基础解析：选B方法一：设f(x)＝x3－12x－2，则f(0)＝－12－2＝－40，f(1)＝1－12－1＝－10，f(2)＝23－120＝70，故f(1)·f(2)0，因此x0∈(1,2)，选B.方法二：在同一坐标系中，分别画出y＝x3与y＝12x－2的图象，观察图象的交点，可知选B.第二章函数与基本初等函数数学（理用）考点技法·全突破学科素能·重培养课时跟踪检测主干回顾·夯基础1．解决函数零点存在性问题的方法有三种：一是利用零点存在性定理判断；二是解方程；三是用图象．但需要注意f(a)·f(b)0是函数在(a，b)上存在零点的充分不必要条件．2．判断函数零点个数的方法有两种：一是结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；二是利用函数图象交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．第二章函数与基本初等函数数学（理用）考点技法·全突破学科素能·重培养课时跟踪检测主干回顾·夯基础1．(2012·湖北高考)函数f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为()A．4B．5C．6D．7解析：选C令f(x)＝xcosx2＝0可得，x＝0或cosx2＝0，故x＝0或x2＝kπ＋π2，k∈Z.又x∈[0,4]，则x2∈[0,16]，则k＝0,1,2,3,4符合题意，故在区间[0,4]上的零点个数为6.第二章函数与基本初等函数数学（理用）考点技法·全突破学科素能·重培养课时跟踪检测主干回顾·夯基础2．(2014·鞍山模拟)已知函数f(x)＝2x－1，x≤1，1＋log2x，x1，则函数f(x)的零点为()A．12，0B．－2,0C．12D．0第二章函数与基本初等函数数学（理用）考点技法·全突破学科素能·重培养课时跟踪检测主干回顾·夯基础解析：选D当x≤1时，由2x－1＝0得2x＝1，所以x＝0；当x1时，由1＋log2x＝0，得log2x＝－1，所以x＝12，不合题意，综上函数y＝f(x)的零点为0.故选D.第二章函数与基本初等函数数学（理用）考点技法·全突破学科素能·重培养课时跟踪检测主干回顾·夯基础(1)(2014·怀化模拟)在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，已知一个根在区间(1,2)内，则下一步可判定该根所在的区间为________．二分法及其应用第二章函数与基本初等函数数学（理用）考点技法·全突破学科素能·重培养课时跟踪检测主干回顾·夯基础解析：32，2计算函数f(x)＝x3－2x－1在x＝1，x＝32，x＝2处的函数值，根据函数的零点存在性定理进行判断f(1)0，f(2)0，f32＝278－3－10，f32·f(2)0，故下一步可断定该根在区间32，2内．第二章函数与基本初等函数数学（理用）考点技法·全突破学科素能·重培养课时跟踪检测主干回顾·夯基础(2)(2014·济南模拟)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数值如下(精确度为0.1)：那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(保留3位有效数字)为________．f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.4375)＝0.162f(1.40625)＝－0.054第二章函数与基本初等函数数学（理用）考点技法·全突破学科素能·重培养课时跟踪检测主干回顾·夯基础解析：1.41(答案不唯一)f(1.375)＝－0.2600，f(1.4375)＝0.1620，且1.4375－1.375＝0.06250.1，所以，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为1.41.第二章函数与基本初等函数数学（理用）考点技法·全突破学科素能·重培养课时跟踪检测主干回顾·夯基础用二分法求函数的零点在某精确度下的近似值时，首先要熟悉用二分法求函数零点的一般步骤；其次要注意正确计算，不能有小的计算失误；第三要明确精确度，根据精确度终止计算．第二章函数与基本初等函数数学