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第一节微分方程的基本概念第五章微分方程例一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点),(yxM处的切线的斜率为x2,求这曲线的方程.解)(xyy设所求曲线为xdxdy2xdxy22,1yx时其中,2Cxy即,1C求得.12xy所求曲线方程为一、微分方程的定义1问题的提出例列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当制动时列车获得加速度4.0米/秒2,问开始制动后多少时间列车才能停住?以及列车在这段时间内行驶了多少路程?解)(,tssst米秒钟行驶设制动后4.022dtsd,20,0,0dtdsvst时14.0Ctdtdsv2122.0CtCts代入条件后知0,2021CC,202.02tts,204.0tdtdsv故),(504.020秒t列车在这段时间内行驶了).(5005020502.02米s开始制动到列车完全停住共需(1)微分方程的定义凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例,xyy,0)(2xdxdtxt,32xeyyy,yxxz实质联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.2微分方程的定义与分类微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.分类1常微分方程,偏微分方程.,0),,(yyxF一阶微分方程);,(yxfy高阶(n)微分方程,0),,,,()(nyyyxF).,,,,()1()(nnyyyxfy分类2(2)微分方程的分类分类3线性与非线性微分方程.),()(xQyxPy;02)(2xyyyx分类4单个微分方程与微分方程组.,2,23zydxdzzydxdy微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之为该方程的解.,)(阶导数上有在区间设nIxy.0))(,),(),(,()(xxxxFn微分方程的解的分类二、微分方程的解(1)通解微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解确定了通解中任意常数以后的解.,yy例;xCey通解,0yy;cossin21xCxCy通解解的图象微分方程的积分曲线.通解的图象积分曲线族.初始条件用来确定任意常数的条件.过定点的积分曲线;00),(yyyxfyxx一阶二阶0000,),,(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题.例验证:函数ktCktCxsincos21+=是微分方程0222=+xkdtxd的解.并求满足初始条件0,00====ttdtdxAx的特解.解,cossin21ktkCktkCdtdx,sincos221222ktCkktCkdtxd,22的表达式代入原方程和将xdtxd.0)sincos()sincos(212212ktCktCkktCktCk.sincos21是原方程的解故ktCktCx,0,00ttdtdxAx.0,21CAC所求特解为.cosktAx微分方程的初等解法初等积分法.求解微分方程求积分(通解可用初等函数或积分表示出来);02)()1(2xyyyx:1阶数说出下列各微分方程的.0)(221212121的解是否为所给微分方程指出函数yyyeCeCyxx;0)2(2yyxyx第二节可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程的求解dxxfdyyg)()(可分离变量的微分方程.5422yxdxdy例如,2254dxxdyy解法设函数)(yg和)(xf是连续的,dxxfdyyg)()(设函数)(yG和)(xF是依次为)(yg和)(xf的原函数,CxFyG)()(为微分方程的解.分离变量法1分离变量法例求解微分方程.2的通解xydxdy解分离变量,2xdxydy两端积分,2xdxydy12lnCxy.2为所求通解xCey2典型例题.0)()(通解求方程xdyxygydxxyf,xyu令,ydxxdydu则,0)()(xydxduxugydxuf,0)()]()([duugdxxuuguf,0)]()([)(duugufuugxdx.)]()([)(||lnCduugufuugx通解为解例例衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M成正比,已知00MMt==,求衰变过程中铀含量)(tM随时间t变化的规律.解,dtdM衰变速度由题设条件)0(衰变系数MdtdMdtMdM,dtMdM00MMt代入,lnlnCtM,tCeM即00CeM得,CteMM0衰变规律)(xyfdxdy形如的微分方程.(2)解法,xyu作变量代换,xuy即代入原式,dxduxudxdy),(ufdxduxu.)(xuufdxdu即可分离变量的方程(1)两种特殊可分离变量方程,0)(时当uuf,ln)(1xCuufdu得,)(uCex即)(uufduu)()(,代入将xyu,)(xyCex得通解,0u当,0)(00uuf使,0是新方程的解则uu,代回原方程.0xuy得齐次方程的解例求解微分方程.0cos)cos(dyxyxdxxyyx,令xyu,则udxxdudy,0)(cos)cos(xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu,lnsinCxu.lnsinCxxy微分方程的解为解2222yxyxxyydxdy,1222xyxyxyxy,xyu令,udxxdudy则,1222uuuuuxu.2222xyydyyxyxdx例求解微分方程解,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu.)2(123Cxuuu微分方程的解为.)2()(32xyCyxy,]1122)121(21[xdxduuuuu()dyfaxbydx解法:(2)形如的方程,byaxz令),(1adxdzbdxdy1()()dzafzbdx可分离变量的微分方程.()dzdxabfz2()dyxydx解,uyx令1dxdudxdy代入原方程21udxdu,arctanCxu解得得代回,yxu,)arctan(Cxyx原方程的通解为.)tan(xCxy例:求方程的通解。;0)1(22xyyyx解,0122xyxxyy,0时当x,xyu令,xuy则,dxduxudxdy,代入原方程,012udxdux得,12xdxudu求下列方程的通解两边积分,,lnln2)ln(lnln)1ln(222CxxyyCxuu或得,222Cxxyy即,0时当x原方程可化为,012udxdux可求得同样,,lnln)1ln(2Cxuu.222Cxxyy即.222Cxxyy故所求通解为;03)()2(233dyxydxyx解,31)(312xyyxdxdy,uxy令,xuy,dxduxudxdy代入原方程,,31)1(312uudxduxu得,21332xdxduuu,两边积分.lnln)(21ln21lnln21ln2133CxxyCxu或得第六节微分方程在医学上的应用一、自然生长方程二、肿瘤化疗模型我们考虑“理想环境”中的生物物种增殖模型.所谓理想环境是指所论及的系统满足三个条件:一、自然生长方程(3)温度、湿度等各项环境因素均对系统适宜.因此“理想环境”至多只是实验室内人为制造的环境.自然环境中的空间和资源总是有限度的.(1)没有由系统外向系统内迁入和由系统内向系统外迁出等情况;(2)系统本身的繁殖不受空间和营养供应的限制;实际上生物的出生率和死亡率都受着它们的所处的环境的影响:当资源丰富、生存条件较好时,出生率增加,死亡率减少;当该生物总数过多资源供不应求时,出生率减少而死亡率增加.现假定出生率p和死亡率q都是生物总数x的函数,即xqbxap,其中都是正数,,,,ba则有qxpxttxtqxpxtx)()()(xkxrdtdx)(),(bkarxqpdtdx)()()(xbxaqpkxrxba)()(所以有kxrdtdxx1kxrdtdxx1称为相对增殖速率.dtkxrxdx)(1()kdxrdtxrkx即kxrdtdxx1假设其中、均为正数.这是一个可分离变量方程.rk两边积分,得Crtkxrxln)ln(lnrtCekxrx整理,得设初次取样时,测得将此初始值代入上式,则可解得0t0)0(xx00kxrxCrtekxrxkxrx)(00所以00xkrt上式称为自然生长方程,也称logistic方程,它对表达自然环境中生物种群的生长有着重要的意义.式中的图形为S形曲线,称为logistic曲线。,rtxkrtexkxrkrx00解得是该种群在一定环境条件下的平衡态.kr二、肿瘤化疗模型如果未给任何治疗,肿瘤的生长基本符合“自然生长方程”.现给予某种化学药物治疗,药物剂量m与肿瘤的体积x之比m/x称为相对药物浓度.若相对药物浓度对肿瘤的相对增率的影响成正比,比例常数是—S,那么肿瘤在“自然生长”和“药物治疗”叠加状态下可由以下方程表示:1dxmrkxsxdtx其中r,k和s均为正常数.2()xtkxrxsm该方程右端是关于x的一个二次函数,可用分离变量方法求解,但需注意该二次函数有没有实根1)药物剂量24rmks这时,右端有两不相等的实根2()()kxrxsmkxaxb224422rrksmrrksmabkk其中分离变量后得111()dxkdtbaxbxa所以,当时,方程通解为24rmks()1kbatbaxace如果药物化疗开始是为t=0,,则可以确定0)0(xx00xbcxa这时,根据初值与a,b之间的关系,可得以下分析:①当时,方程右端一直小于0,即,表明如果在肿瘤初期就开始化疗,肿瘤在化疗中会不断缩小。而当时间0xa()0xt00()1ln,()0()()abxtxtkbabax即肿瘤初期,按药量m进行治疗,病灶可消除.②当时,整个化疗过程中有,表明如果在肿瘤中期才开始小剂量化疗,肿瘤仍会增长.但有解得形式知道,当时间0axb()0xt,()txtb即使在肿瘤最旺盛的时期,m剂量的化疗仍然可以将肿瘤控制在b水平以下.③当时,整个化疗过程中有,表明即使在肿瘤晚期才开始化疗,肿瘤细胞也会缩小,而且.0xb()0xt,()txtb如果肿瘤未经化疗,按“自然生长方程”,肿瘤最终趋于平衡态,而经小剂量m化疗后,平衡态是.rxkrxbk思考:如果或会怎么样?0xa0xb2)药物剂量:此时24rmks2()()xtkxl其中,通解为2rlk001()xlxlktxl按剂量进行化疗,右端总是非正.24rmks如果,当时,.即肿瘤在初期化疗可消除病灶.0xl00()xtkllx()0xt如果,,肿瘤在中晚期化疗会趋于平衡态.0xl,()txtl3)药物剂量:此时24rmks22()[()]xtkxlw其中22rsmlwlkk通解为()tan[()]xtlwwckt按剂量进行化
本文标题:医科数学第五章
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