2020-2021人教版必修四向量在物理中的应用

§7向量应用举例7．1点到直线的距离公式7．2向量的应用举例第二章平面向量栏目导引预习案新知导学探究案讲练互动训练案知能提升第二章平面向量1．问题导航(1)已知直线l的方向向量(M，N)或法向量(A，B)，如何设l的方程？(2)向量可以解决哪些常见的几何问题？(3)向量可以解决哪些物理问题？栏目导引预习案新知导学探究案讲练互动训练案知能提升第二章平面向量2．例题导读P102例1.通过本例学习，学会利用点到直线的距离公式计算点到直线的距离．试一试：教材P102练习T1，T2，T3你会吗？P102例2.通过本例学习，学会利用向量方法解答平面几何问题的方法步骤．试一试：教材P104习题2－7B组T1你会吗？P103例3，例4.通过此两例学习，学会利用向量方法解答物理中位移、力等问题．试一试：教材P104习题2－7A组T3，B组T2你会吗？栏目导引预习案新知导学探究案讲练互动训练案知能提升第二章平面向量1．直线l：Ax＋By＋C＝0的法向量(1)与直线的方向向量____________的向量称为该直线的法向量．(2)若直线l的方向向量v＝(B，－A)，则直线l的法向量n＝____________．(3)与直线l的法向量n同向的单位向量n0＝n|n|＝___________________________．(A，B)垂直AA2＋B2，BA2＋B2栏目导引预习案新知导学探究案讲练互动训练案知能提升第二章平面向量2．点到直线的距离公式点M(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝____________．3．用向量解决平面几何中的问题(1)证明线段平行或相等，可以用向量的数乘、平行向量定理．(2)证明线段垂直，可以用向量数量积运算．(3)利用向量数量积运算，可以求线段的长度、夹角及平面图形的面积．|Ax0＋By0＋C|A2＋B2栏目导引预习案新知导学探究案讲练互动训练案知能提升第二章平面向量4．用向量解决解析几何中的问题解析几何是在平面直角坐标系内研究图形的性质，这类问题大多适用于向量的坐标运算，建立适当的平面直角坐标系，设出向量的坐标，将几何问题转化为向量的线性运算或数量积的运算．5．向量在物理中的应用向量有着丰富的物理背景，向量的物理背景是位移、力、速度等，向量数量积的物理背景是力所做的功，因此，利用向量可以解决一些物理问题．用向量法解决物理问题时，要作出相应的几何图形，以帮助我们建立数学模型．向量在物理中的应用，如求力的合成与分解，力做功等，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用获得的结果解释物理现象．栏目导引预习案新知导学探究案讲练互动训练案知能提升第二章平面向量1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的三角形法则求解．()(2)若△ABC为直角三角形，则有AB→·AC→＝0.()(3)若向量AB→∥CD→，则AB∥CD.()√××解析：(1)正确．物理中的力既有大小又有方向，所以力可以看作向量，F1，F2的合力可按照向量加法的三角形法则求解．(2)错误．因为△ABC为直角三角形，角A并不一定是直角，有可能是角B或角C为直角．(3)错误．向量AB→∥CD→时，直线AB∥CD或AB，CD重合．栏目导引预习案新知导学探究案讲练互动训练案知能提升第二章平面向量2．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为()A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形解析：AB→＝(3，3)，CD→＝(－2，－2)，所以AB→＝－32CD→，AB→与CD→共线，但|AB→|≠|CD→|，故此四边形为梯形．A栏目导引预习案新知导学探究案讲练互动训练案知能提升第二章平面向量3．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们间的夹角为90°时合力大小为20N，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为________N.解析：根据题意，当F1，F2夹角为90°时，|F1|2＋|F2|2＝202，因为|F1|＝|F2|，所以|F1|＝|F2|＝102，则当F1，F2夹角为120°时，它们的合力大小为|AC→|＝102.102栏目导引预习案新知导学探究案讲练互动训练案知能提升第二章平面向量4．在△ABC中，若C＝90°，AC＝BC＝4，则BA→·BC→＝________.解析：因为C＝90°，AC＝BC＝4，所以△ABC为等腰直角三角形，所以BA＝42，∠ABC＝45°，所以BA→·BC→＝16.16栏目导引预习案新知导学探究案讲练互动训练案知能提升第二章平面向量1．对直线l：Ax＋By＋C＝0的方向向量及法向量的两点说明(1)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)为直线上不重合的两点，则P1P2→＝(x2－x1，y2－y1)及其共线的向量λP1P2→均为直线的方向向量．显然当x1≠x2时，向量1，y2－y1x2－x1与P1P2→共线，因此向量1，－AB＝1B(B，－A)为直线l的方向向量，由共线向量的特征可知(B，－A)为直线l的方向向量．(2)结合法向量的定义可知，向量(A，B)与(B，－A)垂直，从而向量(A，B)为直线l的法向量．栏目导引预习案新知导学探究案讲练互动训练案知能提升第二章平面向量2．向量法在几何证明与计算中的几个主要应用(1)A、B、C三点共线的证法只需证AB→＝λBC→或AB→＝(x1,y1),BC→＝(x2,y2)满足x1y2－x2y1＝0.(2)证明AB⊥AC的方法只需证AB→·AC→＝0.(3)求A、B两点间距离的方法可把AB→表示成λa＋μb或者求坐标(x，y)，然后利用向量的运算求解．(4)求∠AOB的方法利用数量积定义的变形cos∠AOB＝OA→·OB→|OA→||OB→|.栏目导引预习案新知导学探究案讲练互动训练案知能提升第二章平面向量3．向量在物理中应用时应注意的三个问题(1)把物理问题转化为数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型．(2)利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．(3)在解决具体问题时，要明确和掌握用向量方法研究物理问题的相关知识：①力、速度、加速度和位移都是向量；②力、速度、加速度和位移的合成与分解就是向量的加、减法；③动量mv是数乘向量；④功是力F与在力F的作用下物体所产生的位移s的数量积．栏目导引预习案新知导学探究案讲练互动训练案知能提升第二章平面向量向量在解析几何中的应用(1)经过点A(－1，2)，且平行于向量a＝(3，2)的直线方程是______________________．(2)已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1，1)，M是圆C上的任一点，点N在线段MA的延长线上，且MA→＝2AN→，求点N的轨迹方程．2x－3y＋8＝0栏目导引预习案新知导学探究案讲练互动训练案知能提升第二章平面向量[解](1)在直线上任取一点P(x，y)，则AP→＝(x＋1，y－2)，由AP→∥a，得(x＋1)×2－(y－2)×3＝0，即2x－3y＋8＝0.故填2x－3y＋8＝0.(2)设N(x，y)，M(x0，y0)．因为MA→＝2AN→，所以(1－x0，1－y0)＝2(x－1，y－1)，所以1－x0＝2x－2，1－y0＝2y－2，即x0＝3－2x，y0＝3－2y，又因为点M(x0，y0)在圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4上，所以(x0－3)2＋(y0－3)2＝4，所以(2x)2＋(2y)2＝4，即x2＋y2＝1，所以点N的轨迹方程为x2＋y2＝1.栏目导引预习案新知导学探究案讲练互动训练案知能提升第二章平面向量将本例(1)中的“平行于向量”改为“法向量为”结果如何？解：由法向量a＝(3，2)，设直线的方程为3x＋2y＋c＝0，又A(－1，2)在直线上，所以3×(－1)＋2×2＋c＝0，得c＝－1，即3x＋2y－1＝0.方法归纳向量在解析几何中的应用问题向量与解析几何的综合是高考的热点．主要题型有：(1)向量的概念、运算、性质、几何意义与解析几何问题结合．(2)将向量作为描述问题或解决问题的工具．(3)以向量坐标运算为工具，考查直线与曲线相交、轨迹等问题．栏目导引预习案新知导学探究案讲练互动训练案知能提升第二章平面向量1．(1)已知两点A(3，2)，B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m＝________．(2)已知点P(－3，0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足PA→·AM→＝0，AM→＝－32MQ→.当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程．12或－6栏目导引预习案新知导学探究案讲练互动训练案知能提升第二章平面向量解：(1)由已知得直线的一个法向量为n＝(m，1)，其单位向量为n0＝n|n|＝11＋m2(m，1)，在直线上任取一点P(0，－3)，则AP→＝(－3，－5)，BP→＝(1，－7)．依题意有|AP→·n0|＝|BP→·n0|，即|－3m－5|1＋m2＝|m－7|1＋m2，解得m＝12或m＝－6.故填12或－6.(2)设点M(x，y)为轨迹上的任一点，设A(0，b)，Q(a，0)(a＞0)，则AM→＝(x，y－b)，MQ→＝(a－x，－y)．栏目导引预习案新知导学探究案讲练互动训练案知能提升第二章平面向量因为AM→＝－32MQ→，所以(x，y－b)＝－32(a－x，－y)．所以a＝x3，b＝－y2，即A0，－y2，Qx3，0.PA→＝3，－y2，AM→＝x，3y2.因为PA→·AM→＝0，所以3x－34y2＝0.即所求轨迹方程为y2＝4x(x＞0)．栏目导引预习案新知导学探究案讲练互动训练案知能提升第二章平面向量向量在平面几何中的应用如图正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且AE、CD交于点P.求证：BP⊥DC.(链接教材P102例2)栏目导引预习案新知导学探究案讲练互动训练案知能提升第二章平面向量[证明]设PD→＝λCD→，并设三角形ABC的边长为a，则有：PA→＝PD→＋DA→＝λCD→＋13BA→＝λ23BA→－BC→＋13BA→＝13(2λ＋1)BA→－λBC→.又EA→＝BA→－13BC→，PA→∥EA→，所以13(2λ＋1)BA→－λBC→＝kBA→－13kBC→，于是有13（2λ＋1）＝k，λ＝13k，解得λ＝17.栏目导引预习案新知导学探究案讲练互动训练案知能提升第二章平面向量所以PD→＝17CD→.所以BP→＝BC→＋CP→＝17BC→＋47BA→，CD→＝23BA→－BC→.所以BP→·CD→＝17BC→＋47BA→·23BA→－BC→＝821a2－17a2－1021a2cos60°＝0.所以由向量垂直的等价条件知BP⊥DC.栏目导引预习案新知导学探究案讲练互动训练案知能提升第二章平面向量方法归纳用向量解决平面几何问题的两种常见思路(1)向量的线性运算法选取基底―→把所求问题用基底线性表示―→利用向量的线性运算或数量积找相应关系―→把向量问题几何化(2)向量的坐标运算法建立适当的平面直角坐标系―→把相关向量坐标化―→向量的坐标运算找相应关系―→把向量问题几何化栏目导引预习案新知导学探究案讲练互动训练案知能提升第二章平面向量2．(1)如图，在▱ABCD中，E，F在对角线BD上，且BE＝FD，则四边形AECF的形状是_________________．(2)如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于点E，求BE∶EC的值．填平行四边形栏目导引预习案新知导学探究案讲练互动训练案知能提升第二章平面向量解：(1)由已知可设AB→＝DC→＝a，BE→＝FD→＝b，故AE→＝AB→＋BE→＝a＋b，FC→＝FD→＋DC→＝b＋a，又a＋b＝b＋a，则AE→＝FC→，即AE，FC平行且相等，故四边形AECF是平行四边形．故填平行四边形．(2)法一：设BA→＝a，BC→＝b，|a|＝1，|b|＝2，则a·b＝|a|