第三章-线性代数第三章习题课

南京信息工程大学滨江学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组习题课一.主要内容二.习题讲解1、矩阵的初等变换初等行（或列）变换(1)互换变换:对调两行(列)(对调i与j两行(列)记为)ijrr()ijcc(3)消去变换:把某一行(列)所有元素的k倍分别加到另一行(列)对应的元素上去(第j行(列)k倍加到第i行(列)上去,记为).ijrkr()ijckc(2)倍法变换:以数乘第i行(列)的所有元素(记为)ikr()ikc0k一、主要内容初等变换的应用用初等变换求逆矩阵的方法:1)构造矩阵(A|E);2)做初等行变换1AEEA行用初等变换解矩阵方程:AX=B(其中A可逆)的方法:1ABEAB行1XAB用初等变换解矩阵方程:XA=B(其中A可逆)的方法:用初等变换求矩阵的秩的方法:1）将A用初等变换化为行阶梯矩阵；2）R(A)=A的行阶梯矩阵的非零行数.1BAEBA列1XBA初等矩阵由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵.定理对A施行一次初等行变换的结果等于用一个相应的初等阵左乘矩阵A;对A施行一次初等列变换的结果等于用一个相应的初等阵右乘矩阵A.2、初等矩阵3、矩阵的秩(A).Rt定义矩阵A中非零子式的最高阶数叫作矩阵A的秩.即若R(A)=r，则A中至少有一个r阶子式非零，而所有阶数大于r的子式全为零.若矩阵A中某个s阶子式不为0,若矩阵A中所有t阶子式全为0,则(A),Rs则()(2)()TRARA0,0(3)()(),0kRkARAkRAmn(1)0()min{,}性质AmnBnp设是型矩阵，是型矩阵，则性质(4)()(),iiRARAAA其中为的任一子阵(7)R(A+B)R(A)+R(B);(8)R(AB)min{R(A),R(B)},当矩阵A或B可逆时,R(AB)＝R(A)（或＝R(B)）(6)若P、Q可逆，则R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)(9)R(AB)R(A)+R(B)-n;)()(,)5(BRARBA则等价与若nABRBRARBAR)()()()(4、线性方程组的解有解,RARAb()(,)RARAb无解有唯一解有无穷多解Axb(2)将增广矩阵B化为行最简矩阵,写出同解方程组；(3)取定自由未知量写出方程组通解.(1)对增广矩阵B施行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，观察R(A)=R(B)，若R(A)=R(B)，转向2)步；若R(A)≠R(B)，则方程组无解，解题完毕；有非零解R(A)n.,RARAbn,RARAbn0Ax解非齐次线性方程组的一般步骤为：Axb32rr1212000026032120962343rr解：12120242662103233343A212rr121200002603212312rr09623413rr323rr12120032120001300026432rr12120032120001300000行阶梯形故R(A)=3.1220310010例1：12120242662103233343A求的秩，并求最高阶的非零子式。为所求0312642221例1.41463510163205021233的一个最高阶非零子式并求的秩，求矩阵，设AAA0502351016324146323141rrA0502351011344146320124rr解1281216117912113441460001322141rrrr84008400113441460001433242rrrrBrr0000840011344146000143所以R(A)=3矩阵B的非零行的首非零元分别位于B的第1,2,3行和第1,2,4列，0161502623对应于矩阵A的第4,2,3行和第1,2,4列，它们的交叉元素组成的子式一定是一个最高阶非零子式，即例2已知矩阵12112000452At的秩为2,求t的值.解：12112000452At121104220452t121104220030tt－－R(A)=2,3t=0,即t=3.解：由AB=O,B≠O得:12221311a550450221a100450221aa1a例3设线性方程组030202321321321xxxaxxxxxx--的系数矩阵为A,3阶矩阵B≠O,且AB=O,试求a的值.方程组有非零解,R(A)3.0Ax例4解矩阵方程AX+E=A2+X其中101020,101AE为3阶单位矩阵.解：由AX+E=A2+X,即(AE)X=A2E得AXX=A2E,001010,100AE而所以,AE可逆.(AE)X=(AE)(A+E).矩阵方程求解...1等形式或或将给出的关系式变为先化简BAXCBXABAX一般解题程序：1111,,.2BCAXBAXBAX阵将以上形式分别变为再通过左乘或右乘可逆故X=A+E101100020010101001201030102(AE)X=(AE)(A+E)所以(A－E)－1(AE)X=(A－E)－1(AE)(A+E).例5()2RA1121314112223242*1323334314243444AAAAAAAAAAAAAAAAA0*()0.RA解设4阶方阵A，R(A)=2，求伴随矩阵A＊的秩.根据矩阵秩的定义，A的所有的3阶子式都为0.(,)Aij的元素的代数余子式0.ijA如果A是n阶矩阵(n1),那么.1,0,1,1,,*nAnAnAnA当秩当秩当秩秩习题三选讲3403130212013403130212010200310012010100310012013000310012011000310012011000010012011000010000011(1)解r2(2)r1,r3(3)r1~r2(1)r3(2)~r3r2~r33~r23r3~r1(2)r2r1r3)~443112112013443112112013443120131211564056401211000056401211411135(1)解r1r2~r23r1r3r1~r3r2~矩阵的秩为2是一个最高阶非零子式05105036302432143214321xxxxxxxxxxxx5110531631121A0000010010214432242102xxxxxxxx10010012214321kkxxxx6(2)解对系数矩阵A进行初等行变换有~于是故方程组的解为(k1k2为任意常数)69413283542432zyxzyxzyxzyx69141328354214132B0000000021101201zzzyzx2127(2)解对增广矩阵B进行初等行变换有~于是即021112kzyx(k为任意常数)23213213211xxxxxxxxx21111111B解：22112100111011))(())(()(~r8.取何值时非齐次线性方程组(1)有唯一解(2)无解(3)有无穷多个解?(1)要使方程组有唯一解必须R(A)3因此当1且2时方程组有唯一解.(2)要使方程组无解必须R(A)R(B)故(1)(2)0(1)(1)20因此2时方程组无解(3)要使方程组有有无穷多个解必须R(A)R(B)3故(1)(2)0(1)(1)20因此当1时方程组有无穷多个解.22112100111011))(())(()(~r32351312310001000132351312310101100120041012310120021101021023023//2102110021101029227003////21021100211010233267001/////2102121123326711(1)解~故逆矩阵为~~~113122214A132231B132231113122214)(B,A解：412315210100010001r~4123152101BAX12(1)设求X使AXB所以