高考数学第二章--函数、导数及其应用

第1页共170页第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系F：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B是一个映射2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．第2页共170页[小题体验]1．下列函数中，与函数y＝13x定义域相同的函数为()A．y＝1sinxB．y＝lnxxC．y＝xexD．y＝sinxx答案：D2．已知函数f(x)满足f(2x)＝2f(x)，且当1≤x2时，f(x)＝x2，则f(3)＝()A.98B.94C.92D．9解析：选C∵f(2x)＝2f(x)，且当1≤x2时，f(x)＝x2，∴f(3)＝2f32＝2×322＝92.3．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是()答案：B4．(教材习题改编)函数f(x)＝x－4|x|－5的定义域是________________．答案：[4,5)∪(5，＋∞)1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A，B若不是数集，则这个映射便不是函数．3．误把分段函数理解为几个函数组成．[小题纠偏]1．函数y＝ln1－xx＋1＋1x的定义域是()A．[－1,0)∪(0,1)B．[－1,0)∪(0,1]C．(－1,0)∪(0,1]D．(－1,0)∪(0,1)第3页共170页解析：选D由题意得1－x0，x＋10，x≠0，解得－1x0或0x1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．2．设函数f(x)＝x，x≥0，－x，x0，若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝()A．－3B．±3C．－1D．±1解析：选D若a≥0，则a＋1＝2，得a＝1；若a0，则－a＋1＝2，得a＝－1.3．已知f1x＝x2＋5x，则f(x)＝________.解析：令t＝1x，∴x＝1t.∴f(t)＝1t2＋5t.∴f(x)＝5x＋1x2(x≠0)．答案：5x＋1x2(x≠0)考点一函数的定义域常考常新型考点——多角探明[命题分析]函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴．常见的命题角度有：(1)求给定函数解析式的定义域；(2)求抽象函数的定义域；(3)已知定义域确定参数问题．[题点全练]角度一：求给定函数解析式的定义域1．(2015·德州期末)y＝x－12x－log2(4－x2)的定义域是()第4页共170页A．(－2,0)∪(1,2)B．(－2,0]∪(1,2)C．(－2,0)∪[1,2)D．[－2,0]∪[1,2]解析：选C要使函数有意义，必须x－12x≥0，x≠0，4－x20，∴x∈(－2,0)∪[1,2)．2．函数f(x)＝1－|x－1|ax－1(a＞0且a≠1)的定义域为____________________．解析：由1－|x－1|≥0，ax－1≠0⇒0≤x≤2，x≠0⇒0＜x≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．答案：(0,2]角度二：求抽象函数的定义域3．若函数y＝f(x)的定义域是[1,2016]，则函数g(x)＝fx＋1x－1的定义域是()A．[0,2015]B．[0,1)∪(1,2015]C．(1,2016]D．[－1,1)∪(1,2015]解析：选B令t＝x＋1，则由已知函数的定义域为[1,2016]，可知1≤t≤2016.要使函数f(x＋1)有意义，则有1≤x＋1≤2016，解得0≤x≤2015，故函数f(x＋1)的定义域为[0,2015]．所以使函数g(x)有意义的条件是0≤x≤2015，x－1≠0，解得0≤x1或1＜x≤2015.故函数g(x)的定义域为[0,1)∪(1，2015]4．若函数f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则f(lgx)的定义域为()A．[－1,1]B．[1,2]C．[10,100]D．[0，lg2]解析：选C因为f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x≤1，故0≤x2≤1，所以1≤x2＋1≤2.因为f(x2＋1)与f(lgx)是同一个对应法则，所以1≤lgx≤2，即10≤x≤100，所以函数f(lgx)的定义域为[10,100]．角度三：已知定义域确定参数问题5．(2016·合肥模拟)若函数f(x)＝2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围为______________________．解析：因为函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.答案：[－1,0]第5页共170页[方法归纳]函数定义域的2种求法方法解读适合题型直接法构造使解析式有意义的不等式(组)求解.已知函数的具体表达式，求f(x)的定义域转移法若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式ag(x)b即可求出y＝f(g(x))的定义域已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域考点二求函数的解析式重点保分型考点——师生共研[典例引领](1)已知fx＋1x＝x2＋1x2，求f(x)的解析式；(2)已知f2x＋1＝lgx，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)；(4)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f1x·x－1，求f(x)．解：(1)由于fx＋1x＝x2＋1x2＝x＋1x2－2，所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2.(2)令2x＋1＝t得x＝2t－1，代入得f(t)＝lg2t－1，又x0，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg2x－1，x1.(3)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，第6页共170页所以2a＋b＝b＋1，a＋b＝1，解得a＝b＝12.所以f(x)＝12x2＋12x，x∈R.(4)在f(x)＝2f1xx－1中，用1x代替x，得f1x＝2f(x)1x－1，将f1x＝2fxx－1代入f(x)＝2f1xx－1中，可求得f(x)＝23x＋13.[由题悟法][即时应用]1．已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式．解：法一：设t＝x＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.故f(x)＝x2－1，x≥1.法二：∵x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1，x＋1≥1，即f(x)＝x2－1，x≥1.2．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式．解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，第7页共170页∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c.又∵方程f(x)＝0有两个相等实根，∴Δ＝4－4c＝0，解得c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.考点三分段函数重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．已知f(x)＝log3x，x＞0，ax＋b，x≤0，且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝()A．－2B．2C．3D．－3解析：选B由题意得f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，解得b＝1.f(－1)＝a－1＋b＝a－1＋1＝3，解得a＝12.故f(－3)＝12－3＋1＝9，从而f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.2．(2015·山东高考)设函数f(x)＝3x－1，x＜1，2x，x≥1，则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是()A.23，1B．[0,1]C.23，＋∞D．[1，＋∞)解析：选C由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.当a＜1时，有3a－1≥1，∴a≥23，∴23≤a＜1.当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.综上，a≥23，故选C.[由题悟法]分段函数2种题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．[提醒]当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．第8页共170页[即时应用]1．已知函数f(x)＝2x＋1，x≥0，3x2，x0，且f(x0)＝3，则实数x0的值为A．－1B．1C．－1或1D．－1或－13解析：选C由条件可知，当x0≥0时，f(x0)＝2x0＋1＝3，所以x0＝1；当x00时，f(x0)＝3x20＝3，所以x0＝－1，所以实数x0的值为－1或1.2．已知f(x)＝12x＋1，x≤0，－x－12，x＞0，使f(x)≥－1成立的x的取值范围是________．解析：由题意知x≤0，12x＋1≥－1或x＞0，－x－12≥－1，解得－4≤x≤0或0＜x≤2，故x的取值范围是[－4,2]．答案：[－4,2]一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f(x)＝x＋3＋log2(6－x)的定义域是()A．(6，＋∞)B．(－3,6)C．(－3，＋∞)D．[－3,6)解析：选D要使函数有意义应满足x＋3≥0，6－x0，解得－3≤x6.2．已知f12x－1＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于()A．－74B.74C.43D．－43解析：选B令t＝12x－1，则x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，则4a－1＝6，解得a＝74.第9页共170页3．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为()A．g(x)＝2x2－3xB．g(x)＝3x2－2xC．g(x)＝3x2＋2xD．g(x)＝－3x2－2x解析：选B设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，∴a＋b＋c＝1，a－b＋c＝