第7节-函数的图象

INNOVATIVEDESIGN第二章第7节函数的图象考纲要求2会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题1在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////123//////////////知识分类落实1夯实基础回扣知识索引知识梳理///////1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.索引2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换索引(2)对称变换y＝f(x)的图象―――――――――→关于x轴对称y＝的图象；y＝f(x)的图象――――――――――→关于y轴对称y＝的图象；y＝f(x)的图象―――――――――→关于原点对称y＝的图象；y＝ax(a0，且a≠1)的图象―――――――――→关于直线y＝x对称y＝(a0，且a≠1)的图象.－f(x)f(－x)－f(－x)logax索引(3)伸缩变换y＝f(x)―――――――――――――――――→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a（a0）倍y＝f(ax).y＝f(x)――――――――――――――――→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A(A0)倍y＝Af(x).(4)翻折变换y＝f(x)的图象――――――――――――――――→x轴下方部分翻折到上方x轴及上方部分不变y＝的图象；y＝f(x)的图象―――――――――――――――→y轴右侧部分翻折到左侧原y轴左侧部分去掉，右侧不变y＝的图象.|f(x)|f(|x|)索引1.记住几个重要结论(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.2.图象的左右平移仅仅是相对于．．．x．而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.3.图象的上下平移仅仅是相对于．．．y．而言的，利用“上加下减”进行.索引诊断自测///////1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.()(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a0且a≠1)的图象相同.()(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.()(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.()×××√索引解析(1)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两者图象不同，(1)错误.(2)中两函数当a≠1时，y＝af(x)与y＝f(ax)是由y＝f(x)分别进行横坐标与纵坐标伸缩变换得到，两图象不同，(2)错误.(3)y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称，(3)错误.索引解析其图象是由y＝x2图象中x0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部分组成.2.下列图象是函数y＝x2，x0，x－1，x≥0的图象的是()C索引3.在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是()解析依题意知，在2h内血液中药物含量Q持续增加，停止注射后，Q呈指数衰减，图象B适合.B索引4.(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝sinx＋xcosx＋x2在[－π，π]的图象大致为()D解析∵f(－x)＝sin（－x）－xcos（－x）＋（－x）2＝－f(x)，且x∈[－π，π]，∴f(x)为奇函数，排除A.当x＝π时，f(π)＝π－1＋π20，排除B，C，只有D满足.索引5.(2021·昆明质检)已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为()A.y＝f(|x|)B.y＝f(－|x|)C.y＝|f(x)|D.y＝－|f(x)|解析观察函数图象可得，②是由①保留y轴左侧及y轴上的图象，然后将y轴左侧图象翻折到右侧所得，结合函数图象的对称变换可得变换后的函数的解析式为y＝f(－|x|).D索引6.(2020·兰州联考)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是________.解析当f(x)0时，函数g(x)＝logf(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)0时，x∈(2，8].(2，8]考点分层突破题型剖析考点聚焦2索引考点一作函数的图象///////师生共研【例1】作出下列函数的图象：(1)y＝12|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝x2－2|x|－1.解(1)先作出y＝12x的图象，保留y＝12x图象中x≥0的部分，再作出y＝12x的图象中x0部分关于y轴的对称部分，即得y＝12|x|的图象，如图①实线部分.索引(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.(3)∵y＝x2－2x－1，x≥0，x2＋2x－1，x0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图③.索引感悟升华1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.2.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.索引【训练1】分别作出下列函数的图象：解(1)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sinx的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图①.(1)y＝sin|x|；(2)y＝2x－1x－1.(2)y＝2x－1x－1＝2＋1x－1，故函数的图象可由y＝1x的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图②所示.索引1.(2020·浙江卷)函数y＝xcosx＋sinx在区间[－π，π]的图象大致为()解析因为f(x)＝xcosx＋sinx，则f(－x)＝－xcosx－sinx＝－f(x)，又x∈[－π，π]，所以f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，则C，D错误.且x＝π时，y＝πcosπ＋sinπ＝－π0，知B错误；只有A满足.考点二函数图象的辨识///////自主演练A索引2.(2021·成都诊断)函数f(x)＝xcosx－π2的图象大致为()解析根据题意，f(x)＝xcosx－π2＝xsinx，定义域为R，关于原点对称.有f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsinx＝f(x)，即函数y＝f(x)为偶函数，排除B，D.当x∈(0，π)时，x0，sinx0，有f(x)0，排除C.只有A适合.A索引3.已知函数f(x)＝3x，x≤1，log13x，x1，则函数y＝f(1－x)的大致图象是()D解析法一先画出函数f(x)＝3x，x≤1，log13x，x1，的草图，令函数f(x)的图象关于y轴对称，得函数f(－x)的图象，再把所得的函数f(－x)的图象，向右平移1个单位，得到函数y＝f(1－x)的图象(图略)，故选D.索引法二由已知函数f(x)的解析式，得y＝f(1－x)＝31－x，x≥0，log13（1－x），x0，故该函数过点(0，3)，排除A；过点(1，1)，排除B；在(－∞，0)上单调递增，排除C.选D.索引4.函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()解析从图象看，y＝f(x)应为奇函数，排除C；A.f(x)＝x＋sinxB.f(x)＝cosxxC.f(x)＝xx－π2x－3π2D.f(x)＝xcosxD又fπ2＝0，知f(x)＝x＋sinx不正确；对于B，f(x)＝cosxx，得f′(x)＝－xsinx－cosxx2，索引当0xπ2时，f′(x)0，所以f(x)＝cosxx在0，π2上递减，B不正确；只有f(x)＝xcosx满足图象的特征.索引感悟升华1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.索引【例2】已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B.f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C.f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)D.f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上是递减的.考点三函数图象的应用///////多维探究f(x)＝x2－2x，x≥0，－x2－2x，x0，C索引角度2函数图象在不等式中的应用【例3】(1)若函数f(x)＝log2(x＋1)，且abc0，则f（a）a，f（b）b，f（c）c的大小关系是()A.f（a）af（b）bf（c）cB.f（c）cf（b）bf（a）aC.f（b）bf（a）af（c）cD.f（a）af（c）cf（b）bB索引解析由题意可得，f（a）a，f（b）b，f（c）c分别看作函数f(x)＝log2(x＋1)图象上的点(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))与原点连线的斜率.结合图象可知，当abc0时，f（a）af（b）bf（c）c.索引(2)(2020·北京卷)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是()A.(－1，1)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(0，1)D.(－∞，0)∪(1，＋∞)解析在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图象如图.由图象得交点坐标为(0，1)和(1，2).又f(x)＞0等价于2x＞x＋1，结合图象，可得x＜0或x＞1.故f(x)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).故选D.D索引角度3求参数的取值范围解析画出分段函数f(x)的图象如图所示，结合图象可以看出，若f(x)＝k有两个不同的实根，也即函数y＝f(x)的图象与y＝k有两个不同的交点，k的取值范围为(0，1).【例4】(1)已知函数f(x)＝2x，x≥2，（x－1）3，x2.若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.(0，1)索引(2)(2020·唐山月考)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________.12，1解析先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与射线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为12，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为12，1.索引感悟升华1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求