第3节-简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

INNOVATIVEDESIGN第一章第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考纲要求2理解全称量词与存在量词的意义3能正确地对含有一个量词的命题进行否定1了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////123//////////////知识分类落实1夯实基础回扣知识索引1.简单的逻辑联结词知识梳理///////(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断真假假假假真真假真假假真假假真假真真真真綈pp∨qp∧qqp索引2.全称量词与存在量词知识梳理///////(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示.∀∃索引3.全称命题和特称命题知识梳理///////∀x∈M，綈p(x)∃x0∈M，綈p(x0)否定∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，p(x)简记存在M中的一个x0，使p(x0)成立对M中的任意一个x，有p(x)成立结构特称命题全称命题名称索引1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反.2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.3.“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”，“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”.4.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题.索引诊断自测///////1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)命题“56或52”是假命题.()(2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题.()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反.()解析(1)错误.命题p∨q中，p，q有一真则真.(2)错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题.(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.×××√索引2.已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题.B索引3.命题：“∃x0∈R，x20－ax0＋10”的否定为___________________________.∀x∈R，x2－ax＋1≥0索引4.(2020·唐山模拟)已知命题p：f(x)＝x3－ax的图象关于原点对称；命题q：g(x)＝xcosx的图象关于y轴对称.则下列命题为真命题的是()A.綈pB.qC.p∧qD.p∧(綈q)解析根据题意，对于f(x)＝x3－ax，有f(－x)＝(－x)3－a(－x)＝－(x3－ax)＝－f(x)，为奇函数，其图象关于原点对称，p为真命题；对于g(x)＝xcosx，有g(－x)＝(－x)cos(－x)＝－xcosx，为奇函数，其图象关于原点对称，q为假命题，则綈p为假命题，q为假命题，p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题.D索引5.(2021·郑州质检)已知命题p：∀x0，3x1；命题q：若ab，则a2b2，下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∧(綈q)C.(綈p)∧qD.(綈p)∧(綈q)解析p：∀x0，3x1为真命题，则綈p为假命题，取a＝－2，b＝－1，则a2b2，所以q为假，綈q为真命题，因此p∧(綈q)为真命题.B索引6.(2021·合肥调研)能说明命题“∀x∈R且x≠0，x＋1x≥2”是假命题的x的值可以是__________________(写出一个即可).－1(任意负数)解析当x0时，x＋1x≥2，当且仅当x＝1时取等号，当x0时，x＋≤－2，当且仅当x＝－1时取等号，∴x的取值为负数即可，例如x＝－1.1x考点分层突破题型剖析考点聚焦2索引考点一含有逻辑联结词的命题///////自主演练1.(2020·西安检测)已知命题p：若a|b|，则a2b2；命题q：m，n是直线，α为平面，若m∥α，n⊂α，则m∥n.下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∧(綈q)C.(綈p)∧qD.(綈p)∧(綈q)解析若a|b|，则a2b2，∴p真，对于命题q：由m∥α，n⊂α，则m与n异面或平行，∴q假，则綈q为真，因此p∧(綈q)为真命题.B索引2.(2021·成都调研)已知命题p：函数y＝2sinx＋sinx，x∈(0，π)的最小值为22；命题q：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0.下列命题为真命题的是()A.(綈p)∧qB.p∨qC.p∧(綈q)D.(綈p)∧(綈q)命题q：取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，所以命题q是假命题.所以綈p为真，綈q为真.因此，只有(綈p)∧(綈q)为真命题.D解析命题p：函数y＝2sinx＋sinx，x∈(0，π)，由基本不等式成立的条件可知，y22sinx·sinx＝22，等号取不到，所以命题p是假命题.索引3.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A.(綈p)∨(綈q)B.p∧(綈q)C.(綈p)∧(綈q)D.p∨q解析命题p是“甲降落在指定范围”，则綈p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则綈q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”.所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q).A索引4.(2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是________.①p1∧p4；②p1∧p2；③綈p2∨p3；④綈p3∨綈p4.①③④索引解析p1是真命题，两两相交不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知p1为真命题；p2是假命题，因为空间三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；p3是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；p4是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线.由以上结论知綈p2，綈p3，綈p4依次为真命题、真命题、假命题，从而①③④中命题为真命题，②中命题为假命题.索引感悟升华1.“p∨q”，“p∧q”，“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假.2.p∧q形式是“一假必假，全真才真”，p∨q形式是“一真必真，全假才假”，綈p与p的真假性相反.索引考点二全称量词与存在量词///////师生共研【例1】(1)(2021·江南十校联考)已知f(x)＝sinx－tanx，命题p：∃x0∈0，π2，f(x0)0，则()A.p是假命题，綈p：∀x∈0，π2，f(x)≥0B.p是假命题，綈p：∃x0∈0，π2，f(x0)≥0C.p是真命题，綈p：∀x∈0，π2，f(x)≥0D.p是真命题，綈p：∃x0∈0，π2，f(x0)≥0C索引解析(1)当x∈π4，π2时，sinx1，tanx1.此时sinx－tanx0，故命题p为真命题.由于命题p为特称命题，所以命题p的否定为全称命题，则綈p为：∀x∈0，π2，f(x)≥0.索引(2)已知命题p：∀x∈N*，12x≥13x，命题q：∃x∈R，2x＋21－x＝22，则下列命题中是真命题的是()A.p∧qB.(綈p)∧qC.p∧(綈q)D.(綈p)∧(綈q)A索引解析由y＝12x与y＝13x的图象的位置关系，知∀x∈N*，12x≥13x成立，p为真命题.又2x＋21－x≥22x·21－x＝22，当且仅当2x＝21－x，即x＝12时，上式取等号，则q为真命题.因此p∧q为真命题.索引感悟升华1.全称命题与特称命题的否定与一般命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可.索引【训练1】(1)已知集合A是奇函数集，B是偶函数集.若命题p：∀f(x)∈A，|f(x)|∈B，则綈p为()A.∀f(x)∈A，|f(x)|∉BB.∀f(x)∉A，|f(x)|∉BC.∃f(x)∈A，|f(x)|∉BD.∃f(x)∉A，|f(x)|∉B解析全称命题的否定为特称命题需：改写量词，否定结论.∴綈p：∃f(x)∈A，|f(x)|∉B.C索引A.p∧qB.綈qC.p∧(綈q)D.(綈p)∧q命题q：“x2021”的一个充分不必要条件是“x2020”，为真命题.故p∧q为真命题，其余为假命题.(2)(2020·兰州诊断)已知命题p：“∃x0∈R，1x0＋10”的否定是“∀x∈R，1x＋10或x＋1＝0”；命题q：“x2021”的一个充分不必要条件是“x2020”，则下列命题为真命题的是()A解析命题p：“∃x0∈R，1x0＋10”的否定是“∀x∈R，1x＋10或x＋1＝0”，故命题p是真命题.索引考点三由命题的真假求参数///////典例迁移【例2】(1)已知命题p：∀x∈R，2x3x，命题q：∃x∈R，x2＝2－x，若命题(綈p)∧q为真命题，则x的值为()A.1B.－1C.2D.－2解析因为綈p：∃x∈R，2x≥3x，要使(綈p)∧q为真，所以綈p与q同时为真.由x2＝2－x，得x＝1或x＝－2.②由①②知x＝－2.D由2x≥3x，得23x≥1，所以x≤0.①索引(2)(经典母题)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝12x－m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________.14，＋∞得0≥14－m，所以m≥14.解析当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝14－m，由f(x)min≥g(x)min，索引【迁移】本例(2)中，若将“∃x2∈[1，2]”改为“∀x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是____________________.12，＋∞解析当x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝12－m，对∀x1∈[0，3]，∀x2∈[1，2]使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)max，得0≥12－m，∴m≥12.索引感悟升华1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.2.全称命题可转化为恒成立问题.3.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.索引【训练2】(2021·豫北名校联考)已知p：函数f(x)＝x2－(2a＋4)x＋6在(