第4节-幂函数与二次函数

INNOVATIVEDESIGN第二章第4节幂函数与二次函数考纲要求2理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.1了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝1x的图象，了解它们的变化情况知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////123//////////////知识分类落实1夯实基础回扣知识索引知识梳理///////1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的五种幂函数的图象y＝xα索引(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.索引2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝.顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为.零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.ax2＋bx＋c(a≠0)(m，n)索引(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a0)y＝ax2＋bx＋c(a0)图象(抛物线)定义域值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24aR索引对称轴x＝顶点坐标奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在－∞，－b2a上是函数；在－b2a，＋∞上是函数在－∞，－b2a上是函数；在－b2a，＋∞上是函数－b2a－b2a，4ac－b24a减增增减索引1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当a0，Δ0时，恒有f(x)0；当a0，Δ0时，恒有f(x)0.索引诊断自测///////1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(2)当α0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数.()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.()(1)函数y＝2x13是幂函数.()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是4ac－b24a.()×√××索引解析(1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝2x13不是幂函数，(1)错误.(3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式.(4)对称轴x＝－b2a，当－b2a不在给定定义域内时，最值不是4ac－b24a，故(4)错误.索引解析因为f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1.2.已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点12，22，则k＋α＝()A.12B.1C.32D.2又f(x)的图象过点12，22，所以12α＝22，所以α＝12，所以k＋α＝1＋12＝32.C索引3.已知函数f(x)＝－2x2＋mx＋3(0≤m≤4，0≤x≤1)的最大值为4，则m的值为________.22解析f(x)＝－2x2＋mx＋3＝－2x－m42＋m28＋3，∵0≤m≤4，∴0≤m4≤1，∴当x＝m4时，f(x)取得最大值，∴m28＋3＝4，解得m＝22.索引4.(2021·全国大联考)不等式(x2＋1)12(3x＋5)12的解集为()A.－53，－1∪(4，＋∞)B.(－1，4)C.(4，＋∞)D.(－∞，－1)∪(4，＋∞)A解析不等式(x2＋1)12(3x＋5)12等价于x2＋13x＋5≥0，解得－53≤x－1或x4.所以原不等式的解集为－53，－1∪(4，＋∞).索引5.(2020·贵阳质检)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，8]上是单调函数，则k的取值范围是()A.(－∞，40]B.[40，64]C.(－∞，40]∪[64，＋∞)D.[64，＋∞)解析f(x)图象的对称轴x＝k8，C且f(x)在[5，8]上是单调函数，∴k8≥8或k8≤5，解之得k≥64或k≤40.索引解析由y＝xα为奇函数，知α取－1，1，3.又y＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α0，取α＝－1.6.(2018·上海卷)已知α∈－2，－1，－12，12，1，2，3.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.－1考点分层突破题型剖析考点聚焦2索引1.若幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是()解析设幂函数的解析式为y＝xα，因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，考点一幂函数的图象和性质///////自主演练C所以2＝4α，解得α＝12.所以y＝x，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0x1时，其图象在直线y＝x的上方，对照选项，C正确.索引2.已知函数f(x)＝(m2－m－1)·xm2－2m－3是幂函数，且在(0，＋∞)上递减，则实数m＝()A.2B.－1C.4D.2或－1解析依幂函数定义，m2－m－1＝1，∴m＝2或m＝－1，当m＝2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，当m＝－1时，f(x)＝x0＝1在(0，＋∞)上不是减函数，舍去.∴m＝2.A索引3.(2021·衡水中学调研)已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f13，b＝f(lnπ)，c＝f(2－12)，则a，b，c的大小关系是()A.acbB.abcC.bcaD.bacA索引解析由于f(x)＝(m－1)xn为幂函数，所以m－1＝1，则m＝2，f(x)＝xn.又点(2，8)在函数f(x)＝xn的图象上，所以8＝2n，知n＝3，故f(x)＝x3，且在R上是增函数，又lnπ12－12＝2213，所以f(lnπ)f(2－12)f13，则bca.索引4.(2021·郑州质检)幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm的图象关于y轴对称，则实数m＝________.解析由幂函数定义，知m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2，当m＝1时，f(x)＝x的图象不关于y轴对称，舍去，当m＝2时，f(x)＝x2的图象关于y轴对称，因此m＝2.2索引感悟升华1.对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α0，0α1，α＝1，α1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.3.在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.索引【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.解法一(利用“一般式”)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.考点二二次函数的解析式///////师生共研由题意得4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解得a＝－4，b＝4，c＝7.索引法二(利用“顶点式”)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝2＋（－1）2＝12，所以m＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，所以y＝f(x)＝ax－122＋8.因为f(2)＝－1，所以a2－122＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.索引法三(利用“零点式”)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.解得a＝－4或a＝0(舍).故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.又函数有最大值8，即4a（－2a－1）－（－a）24a＝8.索引感悟升华求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：索引【训练1】(1)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0，0)和(－2，0)，且有最小值－1，则f(x)＝________.解析设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，所以f(x)＝ax2＋2ax，x2＋2x由4a×0－4a24a＝－1，得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.索引(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝____________.解析因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，所以y＝f(x)的图象关于x＝2对称.又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0).因此设f(x)＝a(x－1)(x－3).又点(4，3)在y＝f(x)的图象上，所以3a＝3，则a＝1.故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.x2－4x＋3所以f(x)＝0的两根为2－22＝1或2＋22＝3.索引角度1二次函数的图象【例2】(1)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b24ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5ab.其中正确的是()A.②④B.①④C.②③D.①③考点三二次函数的图象和性质///////多维探究B索引解析因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac0，即b24ac，①正确.结合图象，当x＝－1时，y0，即a－b＋c0，③错误.由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a0，所以5a2a，即5ab，④正确.对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1，2a－b＝0，②错误.索引(2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a0)，若f(m)0，则()A.f(m＋1)≥0B.f(m＋1)≤0C.f(m＋1)0D.f(m＋1)0解析因为f(x)的对称轴为x＝－12，f(0)＝a0，所以f(x)的大致图象如图所示.由f(m)0，得－1m0，所以m＋10－12，所以f(m＋1)f(0)0.C索引感悟升华1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.索引角度2二次函数的单调性与最值【例3】(2021·西安模拟)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值.解(1)当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上递减，∴f(x)min＝f(1)＝－2.(2)当a0时，f(x)＝ax2－2x图象开口方向向上，且对称轴为x＝1a.①当1a≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0，1]内，∴f(x)在0，1a上递减，在1a，1上递增.∴f(x)min＝f1a＝1a－2a＝－1a.索引∴f(x)min＝f(1)＝a－2.②当1a1，即0a1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0，1]的右侧，∴f(x)在[0，1]上递减.(3)当a0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方