24.1.4圆周角2

思考：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧相等吗？为什么？推论在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧相等.EFBCDA弧弧中，在圆o（1）如图，弧AB是⊙O半圆（AB是⊙O的直径），那么∠C1、∠C2、∠C3的度数是____ABOC1C2C3[推论]半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.（2）若∠C1、∠C2、∠C3是直角，那么∠AOB是。点O在___上，弦AB是___90°180°探究与思考AB直径九年级数学第24章圆--（1）圆的概念那么每一份1°弧。所对的圆心角的度数就是1°1°弧的概念.（圆心角的度数）把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份这样的弧叫做1°弧。结论：圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。判断正误：1.同弧或等弧所对的圆周角相等（）2.相等的圆周角所对的弧相等（）3.90°角所对的弦是直径（）4.直径所对的角等于90°（）5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°（）√××××练一练如图已知，∠A=50°，∠ABC=60°BD是⊙O的直径，求∠AEB的度数ACBODE[例1]如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．OABCD学习新知：圆的内接多边形，多边形的外接圆•如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，这个多边形是圆的内接多边形，这个圆叫多边形的外接圆•作图：作出圆的内接三角形，并证明三角形的内角和等于180˚；•作出圆的内接直角三角形，并说明直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。OCABD如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形；⊙O为四边形ABCD的外接圆。思考：⊙O的内接四边形ABCD的对角，在数量上有什么关系？OCDBA如图：圆内接四边形ABCD中，∴∠A＋∠C＝180°同理∠B＋∠D＝180°圆内接四边形的对角互补.∵BAD+BCD=360°圆内接四边形的性质定理：思考：延长BC到E，∠DCE与∠A的数量关系？180°所以∠A＝∠DCE又∠A＋∠1＝180°CODBAE1∠DCE＋∠1＝圆内接四边形任意一个外角都等于它的内对角.推论：∠A与∠DCE为内对角几何表达式：∵ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C=180°且∠B=∠1DABC1E1、如图(2)四边形ABCD中,∠B与∠1互补,AD的延长线与DC所夹∠2=600,则∠1=_____,∠B=_____.120°60°EDCBA21练习2.四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=______∠B+∠ADC=_______;若∠B=80°，则∠ADC=____∠CDE=______EDBAC80180°180°100°80°3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=100°则∠B=______∠D=______4.四边形ABCD内接于⊙O,∠A:∠C=1:3,则∠A=_____,50°130°45°DBACO1005.若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（）（A）∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4（B）∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶1∶3∶4（C）∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4（D）∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝4∶3∶2∶1B6.梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC,∠B=750,则∠C=_____75°返回圆的内接梯形一定是＿＿＿＿＿梯形。DBACO等腰1、如图，四边形ABCD内接于⊙O,如果∠BOD=130°,则∠BCD的度数是（）A、115°B、130°C、65°D、50°2、如图，等边三角形ABC内接于⊙O，P是AB上的一点，则∠APB=。ABDCO⌒APBC3、圆内接梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=75°,则∠C=°4、已知四边形ABCD内接于⊙O,且∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠D的度数.5、圆的内接四边形ＡＢＣＤ中,ＡＣ垂直平分ＢＤ,∠ＢＡＣ=40°，则∠ＢＣＤ＝°6、四边形ABCD内接于⊙O,BA、CD的延长线交于P,AD=２cm,BC=３cm,ＰＡ＝４cm，求ＰＣ的长.例如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F。求证：CE∥DF12OOFABECD1CE∥DF∠E＋∠F＝180°∠E＋∠1＝180°、∠1＝∠FABEC是⊙O1的内接四边形ABFD是⊙O2的内接四边形连结AB12OOFABECD1证明两条直线平行的方法很多，但常用的还是通过证明同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等方法。刚才我们通过同旁内角互补证明了CE∥DF，想一想还能否通过同位角相等或者内错角相等证明结果？1）延长EF,是否有∠E=∠BAD＝∠1？AO21O1BCDEFM2)延长DF,能否证明3)∠E＝∠２＝∠3？A2O23O1BCDEF巩固练习：1、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，求∠BAD及∠BCD的度数。AODBCOCDBA已知：如图，四边形ABCD是圆的内接四边形并且ABCD是平行四边形。求证：四边形ABCD是矩形。例如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．86102222ACABBC又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，221052(cm)22ADBDAB解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴AD=BD..ACDBCDOABCD3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）·ABCO求证：△ABC为直角三角形.证明：CO=AB,12以AB为直径作⊙O，∵AO=BO，∴AO=BO=CO.∴点C在⊙O上.又∵AB为直径,∴∠ACB=×180°=90°.12已知：△ABC中，CO为AB边上的中线，12且CO=AB∴△ABC为直角三角形.课本练习如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下．DABCOOO·方法一方法二方法三方法四AB练习拓展练习如图,点P是⊙O外一点,点A、B、Q是⊙O上的点。（1）求证∠P＜∠AQB（2）如果点P在⊙O内，∠P与∠AQB有怎样的关系？为什么？OBpQA练一练5、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合。（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由。ACBDF·O∴△ABC是锐角三角形解：（1）AB=AC。证明：连接AD又∵DC=BD，∴AB=AC。（2）△ABC是锐角三角形。由（1）知，∠B=∠C＜90°连接BF，则∠AFB=90°，∴∠A＜90°∵AB是直径，∴∠ADB=90°，