二重积分的应用

第四节一、曲面的面积二、平面薄片的质心三、平面薄片的转动惯量四、平面薄片对质点的引力机动目录上页下页返回结束二重积分的应用第七章卫星hoxz实例一颗地球的同步轨道通讯卫星的轨道位于地球的赤道平面内,且可近似认为是圆轨道.通讯卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同,即人们看到它在天空不动.若地球半径取为R,问卫星距地面的高度h应为多少?通讯卫星的覆盖面积是多大?一、曲面的面积MAdzdn一、曲面的面积xyzSo设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点),,(zyxM处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D上的投影为d,Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx(称为面积元素)则Mnd机动目录上页下页返回结束故有曲面面积公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程为,),(,),(zyDzyzygx则有zyD即机动目录上页下页返回结束例1求半径为R的球的表面积：解球面方程为：xyzORR2222.xyzR在第一卦限内球面的方程为222,zRxy在xOy平面上的投影区域可表示为D：x2+y2≤R2，x≥0，y≥0.又222,zxxRxy222.zyyRxy于是，所求球的表面积为2281dDzzAxy2228ddDRxyRxy222008ddRRrrRr2204[]RRRr即球的表面积24,AR它等于大圆面积的4倍.24.R二、平面薄片的质心设空间有n个质点,,),,(kkkzyx其质量分别,),,2,1(nkmk由力学知,该质点系的质心坐标,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11设物体占有平面域D,有连续密度函数则公式分别位于为为采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其质心机动目录上页下页返回结束若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yxyxyxyxyyDDdd),(dd),(,常数时,ddAyxxxDAyxyyDdd(A为D的面积)得D的质心坐标:则它的质心坐标为MMyMMx其面密度机动目录上页下页返回结束4例5.求位于两圆和之间均匀薄的质心.2D解:利用对称性可知0x而DyxyAydd1Drrddsin312rrdsin4sin22dsin956042956dsin2956204370dsin3143212oyxC机动目录上页下页返回结束三、平面薄片的转动惯量设物体占有平面区域D,有连续分布的密度函数(,).xy该物体位于(x,y)处的微元2(,)dyxy因此物体对x轴的转动惯量:2(,)xDIyxyddxI对x轴的转动惯量为因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故连续体的转动惯量可用积分计算.机动目录上页下页返回结束xDyo(,)ddoDIxyxyxDyo2y2x)(22yx机动目录上页下页返回结束同理可得：rraddsin0302例7.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径解:建立坐标系如图,0:222yayxDyxyIDxdd2Drrddsin23241aM半圆薄片的质量221aMoxyDaa的转动惯量.机动目录上页下页返回结束222rxyaG为引力常数五、平面薄片对质点的引力设物体占有平面区域D,求该薄片对于点利用元素法,3(,)ddyxyyFGr3(,)ddzxyzFGr在D上积分即得各引力分量:其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为机动目录上页下页返回结束连续0(00,)(0)Maa，处单位质点的引力32222(,)()xDxyxFGdxya32222(,)()yDxyyFGdxya32222(,)()zDxyzFGdxya机动目录上页下页返回结束xyzoR例9.设面密度为μ,半径为R的圆形薄片求它对位于点解:由对称性知引力zFddaGDzaGFaG处的单位质量质点的引力.2ddGdaR020da0M。),0,0(zFF23222)(dayx23222)(dayx2322)(darrr机动目录上页下页返回结束