2020年湖南省长沙市雅礼中学高一(下)期中数学试卷

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.sin390°=（）A.B.C.D.2.若cosθ＞0，sinθ＜0，则角θ的终边所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么=（）A.B.C.D.4.若，则与的夹角是（）A.30°B.60°C.120°D.1505.cosα=-，α∈（，π），sinβ=-，β是第三象限角，则cos（β-α）=（）6.A.B.C.D.函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A.B.y=2sin（2x+）y=2sin（2x+）C.y=2sin（-）D.y=2sin（2x-）7.若点P（cosα，sinα）在直线y=-2x上，则sin2α+cos（2α+）=（）A.0B.C.D.第1页，共14页8.定义运算：，如1*2=2，则函数f（x）=sinx*cosx的值域为（）A.[-1，1]B.C.D.9.已知平面上不共线的四点O，A，B，C．若+2=3，则的值为（）A.B.C.D.10.已知向量满足，，，，则的值为（）A.1B.2C.D.11.ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上的一点（包括端点），则•的取值范围是（）A.[1，2]B.[0，1]C.[0，2]D.[-5，2]12.函数f（x）=cos2x-2sinxcosx下列命题中正确的是（）（1）若存在x，x有x-x=π时，f（x）=f（x）成立（2）f（x）在[-，]是单调递增（3）函数f（x）关于点（，0）成中心对称图象（4）将函数f（x）的图象向左平移个单位后将与y=2sin2x重合．A.C.（1）（2）（1）（2）（3）B.D.（1）（3）（1）（3）（4）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x∈R，向量=（x，1），=（1，-2），且⊥，则x=______．14.在△ABC中，若tanA=，tanB=，则∠C=______．15.已知sin（+α）=，则cos（）=______．16.如图，在扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为弧上的一个动点，若，则x﹣y的取值范围是____．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f（x）=sinx+sin（x+），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的最大值和最小值；121212第2页，共14页（3）若f（α）=，求sin2α的值．18.已知，，与的夹角为．（Ⅰ）求|（Ⅱ）若|；与的夹角为钝角，求实数λ的取值范围．19.如图，在平面直角坐标系xOy中，以x为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为，（1）求tan（α+β）的值；（2）求2α+β的值．．20.已知向量=（，1），=（cos，），记f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=g（x）的图象，讨论函数y=g（x）-k在的零点个数．第3页，共14页21.如图，平面四边形ABCD中，AB=13，AC=10，AD=5，（1）求cos∠BAD；，．（2）设的值．22.某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD，已知草坪长AB=100米，宽BC=50米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE、HF和EF，并要求H是CD的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EHF为直角，如图所示．（Ⅰ）设∠CHE=（x弧度），试将三条路的全长（△即HEF的周长）L表示成x的函数，并求出此函数的定义域；（Ⅱ）这三条路，每米铺设预算费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用（结果保留整数）（可能用到的参考值：取1.732，取1.414）．第4页，共14页答案和解析1.【答案】A【解析】解：sin390°=sin（360°+30°）=sin30°=，故选：A．由sin390°=sin（360°+30°），利用诱导公式可求得结果．本题考查诱导公式的应用，把sin390°化为sin（360°+30°）是解题的关键．2.【答案】D【解析】解：由题意，根据三角函数的定义sinθ=＜0，cosθ=＞0∵r＞0，∴y＜0，x＞0．∴θ在第四象限，故选：D．利用三角函数的定义，可确定y＜0，x＞0，进而可知θ在第四象限．本题以三角函数的符号为载体，考查三角函数的定义，属于基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查向量加减混合运算及其几何意义，注意中点关系与向量的方向，考查基本知识的应用，由题意点E，F分别是DC，BC的中点，求出，，然后求出向量即得．【解答】解：因为点E是CD的中点，所以=，点得F是BC的中点，所以=所以=+=.故选D．4.【答案】A=-，【解析】解：可得：，，cos=．则与的夹角为30°．故选：A．直接利用向量的数量积转化求解向量的夹角即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力．5.【答案】A第5页，共14页【解析】解：由题意，故sinα＞0所以sinα=同理=，，β是第三象限角，可得cosβ=由两角差的余弦公式可得：cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα==故选：A．由公式sin2α+cos2α=1结合角αβ所在象限，可得sinα，cosβ，然后代入两角差的余弦公式可得答案．本题为两角和与差的三角函数公式的应用，熟练运用公式是解决问题的关键，属基础题．6.【答案】A【解析】解：由已知可得函数y=Asin（ωx+ϕ）的图象经过（-则A=2，T=π即ω=2，2）代入得则函数的解析式可化为y=2sin（2x+ϕ），将（--+ϕ=+2kπ，k∈Z，即φ=+2kπ，k∈Z，当k=0时，φ=此时故选：A．，2）点和（-，2）根据已知中函数y=Asin（ωx+ϕ）在一个周期内的图象经过（-，2）和（-，2），我们易分析出函数的最大值、最小值、周期，然后可以求出A，ω，φ值后，即可得到函数y=Asin（ωx+ϕ）的解析式．本题考查的知识点是由函数y=Asin（ωx+ϕ）的部分图象确定其解析式，其中A=|最大值-最小值|，|ω|=，φ=L•ω（L是函数图象在一个周期内的第一点的向左平移量）．7.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：点P（cosα，sinα）在直线y=-2x上，∴sinα=-2cosα，即tanα=-2，则sin2α+cos（2α+）=sin2α-sin2α=故选：D．===，第6页，共14页8.【答案】A【解析】解：根据信息：定义运算：，则：函数f（x）=sinx*cosx=所以：根据函数的图象和性质的应用，，当sinx＞cosx时，函数的值域为：[]，当cosx≤sinx时，函数的值域为：[-1，1}，故函数的值域为：[-1，1}．故选：A．函数的图象和性质的应用，主要考察分段函数的应用．本题考查的知识要点：函数的图象和性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：∵∴移项整理，得．∵，∴∴由此可得故选：A．根据，==．变形，化简整理可得，由此代入即可得到的值．本题给出平面内不共线四个点满足的向量等式，求两个向量模的比值，着重考查了向量的加法及其几何意义和向量的模性质等知识，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：∵，∴，∴=2．∵，∴，化为，∴，解得．故选：B．利用向量的数量积运算即可得出．本题考查了向量的数量积运算，属于基础题．11.【答案】D第7页，共14页【解析】解：∵D是边BC上的一点（包括端点），∴可设=+（0≤λ≤1）．∵∠BAC=120°，AB=2，AC=1，∴=2×1×cos120°=-1．∴•=[+]•=-+=-（2λ-1）-4λ+1-λ=-7λ+2．∵0≤λ≤1，∴（-7λ+2）∈[-5，2]．∴•的取值范围是[-5，2]．故选：D．由于D是边BC上的一点（包括端点），利用向量共线定理：可设=+（0≤λ≤1）．由∠BAC=120°，AB=2，AC=1，可得=2×1×cos120°=-1．代入利用数量积运算性质即可得出•=-7λ+2．再利用一次函数的单调性即可得出．本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、一次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：f（x）=cos2x-2sinxcosx=cos2x-=，所以函数f（x）的周期为：，①所以：若存在x，x有x-x=π时，所以：x=π-x则：f（x）=f（x）成立．②令：解得：（k∈Z）所以函数的单调递减区间为：[]所以：f（x）在[-，]是单调递增不成立．③令：（k∈Z）12121212第8页，共14页解得：x=当k=0时，函数f（x）关于点（，0）成中心对称图象．④将函数的图象向左平移得到y=故与y=2sin2x重合相矛盾．则：（1）和（3）正确．故选：B．首先把函数的关系式通过恒等变换变换成余弦型函数，进一步利用余弦型函数的性质求出函数的周期，对称中心，及单调区间．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用三角函数的性质求单调区间周期，及函数图象的平移问题，属于基础题型．13.【答案】2【解析】解：x∈R，向量=（x，1），=（1，-2），且⊥，可得：x-2=0，解得x=2．故答案为：2．利用向量垂直，列出方程求解即可．本题考查向量的垂直的充要条件的应用，是基础题．14.【答案】135°【解析】解：由题意可得tanC=-tan（A+B）=-=-=-1，又∵C为三角形的内角，∴C=135°故答案为：135°由题意tanC=-tan（A+B）=-，代值结合角的范围可得．本题考查两角和与差的正切函数公式，属基础题．15.【答案】-【解析】【分析】本题主要考查诱导公式和余弦的二倍角公式，还要求学生能够感受到cos（-α）与sin（+α）中的角之间的余角关系，属于中档题．因为cos（-α）=sin（+α）=，利用二倍角公式求得cos（【解答】解：因为cos（-α）=sin（+α）=，∴cos（）第9页，共14页）的值．=2-1=2×-1=-，故答案为-．16.【答案】[-1，1]【解析】【分析】建立平面直角坐标系，进行求解即可．本题考查了三角函数的值域，属于中档题．【解答】解：设扇形OAB的半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，如图，其中A（，）；B（1，0）；设∠BOC=θ（0≤θ≤），则C（cosθ，sinθ），由，得（cosθ，sinθ）=x（，）+y（1，0）；整理得：x+y=cosθ；x=sinθ，解得x=，y=cosθ-，则x-y=-cosθ+=sinθ-cosθ=2sin（θ-），由0≤θ≤，得所以2sin（θ-），[-1，1]，所以x﹣y的取值范围是[-1，1].故答案为：[-1，1].17.【答案】解：（1）∵=sinx+sin（x+）的最小正周期是2π．（2）∵x∈R，-1≤sinx≤1（2）=…（8分）∴f（x）的最大值为，最小值为第10页，共14页=∴函数f（x）（3）∵f（α）=sinα+sin（α+）=sinα+cosα=∴（sinα+cosα）2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+sin2α=∴sin2α=-1=【解析】（1）根据诱导公式可求出函数的解析式，推断f（x）的最小正周期是2π（2）依上问f（x）=2sinx，根据正弦函数的性质推断f（x）的最大值是2，最小值是-2．（3）把α代入函数式，两边平方可得答案．本题主要考查三角函数中诱导公式的使用．做题时注意灵活运用和差化积、倍角公式等公式．18.【答案】解：（Ⅰ），∴，（Ⅱ）依题意得：，即∴λ2+3λ+1＜0，，解得：又当与，的夹角为180°时，设且μ＜0，∵与不共线，∴得