2020年湖南中考数学复习题型四--切线的相关证明与计算

题型四切线的相关证明与计算(郴州4考；衡阳4考；益阳2017.20)类型一与切线判定有关的证明与计算(郴州2019、2018、2016.23；衡阳2019、2018.23，2017.25，2015.26；益阳2017.20)1.(2019甘肃省卷)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E.(1)求证：AC是⊙D的切线；(2)若CE＝23，求⊙D的半径．第1题图2.(2019扬州节选)如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交AB于点P，CP＝BC.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)已知∠BAO＝25°，点Q是AmB︵上的一点．若OA＝18，求AmB︵的长．第2题图3.(2019南充)如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，∠BCD＝∠A.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若BC＝5，BD＝3，求点O到CD的距离．第3题图4.如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上，且BC＝CD，过点C作CE⊥AD，交AD延长线于点E，交AB延长线于点F，(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若AB＝4ED，求cos∠ABC的值．第4题图5.(2019济宁)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是AC︵的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F.(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)若DH＝9，tanC＝34，求直径AB的长．第5题图类型二与切线性质有关的证明与计算(郴州2017.23)1.(2019陕西)如图，AC是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线．作BM＝AB，并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD.(1)求证：AB＝BE；(2)若⊙O的半径R＝5，AB＝6，求AD的长．第1题图2.(2019新疆)如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D,CE⊥AB于点E.(1)求证：∠BCE＝∠BCD；(2)若AD＝10，CE＝2BE，求⊙O的半径．第2题图参考答案类型一与切线判定有关的证明与计算1.(1)证明：如解图，连接DA.第1题解图∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.又∵DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝30°.∴∠DAC＝120°－30°＝90°.∴AC⊥AD.∵AD为⊙D的半径，∴AC是⊙D的切线；(2)解：设⊙D的半径为r，则DA＝DE＝r.在Rt△ADC中，∵∠C＝30°，∴CD＝2AD.∴CE＋r＝2r.∴r＝CE＝23.2.(1)证明：如解图，连接OB，∵CP＝CB，OB＝OA，∴∠CBP＝∠CPB，∠ABO＝∠BAO.∵OA⊥OC，∴∠BAO＋∠APO＝90°.∵∠APO＝∠CPB，∴∠OBA＋∠CBP＝90°，即∠CBO＝90°.∵OB是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；(2)解：∵OB＝OA，∴∠ABO＝∠BAO＝25°.∴∠AOB＝180°－25°－25°＝130°.∴AmB︵的长为：360－130180π×18＝23π.第2题解图3.(1)证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.∴∠A＋∠ACD＝90°.∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD＋∠ACD＝∠ACB＝90°.∴OC⊥BC.又∵OC为⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；(2)解：如解图，过点O作OE⊥CD于点E.在Rt△BCD中，∵BC＝5，BD＝3，∴CD＝BC2－BD2＝4.∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∠BCD＝∠A，∴Rt△BDC∽Rt△CDA.∴CDAD＝BDCD＝34.∴CD2＝AD·BD∴16＝AD×3解得AD＝163.∵OE⊥CD，∴E为CD的中点．又∵点O是AC的中点，∴OE＝12AD＝83.∴点O到CD的距离为83.第3题解图4.(1)证明：如解图，连接OC、AC.∵CE⊥AD，∴∠EAC＋∠ECA＝90°.∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC.又∵BC＝CD，∴BC︵＝CD︵.∴∠OAC＝∠EAC.∴∠OCA＝∠EAC.∴∠ECA＋∠OCA＝90°；即OC⊥EF，∵OC是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；第4题解图(2)解：∵EF是⊙O的切线．∴∠ECD＝∠EAC.又∵BC＝CD，∴∠EAC＝∠BAC.∴∠ECD＝∠BAC.又∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°.在△BAC和△DCE中，∠BCA＝∠DEC＝90°，∠ECD＝∠CAB，∴△CDE∽△ABC.∴CDDE＝ABBC.又∵AB＝4DE，CD＝BC.∴BC14AB＝ABBC.∴BC＝12AB.∴cos∠ABC＝BCAB＝12.5.(1)证明：∵D是AC︵的中点，∴OD⊥AC于点F，即∠AFO＝90°.∴∠CAB＋∠AOF＝90°.又∵∠CAE＝2∠C＝∠AOF，∴∠EAO＝∠CAE＋∠CAB＝∠AOF＋∠CAB＝90°.∴OA⊥AE，∵OA是⊙O的半径．∴AE是⊙O的切线；(2)解：∵∠C＝∠B＝∠HDF，DH＝9，tanC＝34，OD⊥AC于点F，∴tan∠HDF＝FHDF＝tanC＝34.设FH＝3x，则DF＝4x，∴(3x)2＋(4x)2＝92.解得x＝95，(舍去负值)∴FH＝275，则DF＝365.如解图，连接AD，第5题解图∵∠C＝∠B，∠DFH＝∠BDA＝90°，∴△DFH∽△BDA.∴DHAB＝FHAD.即9AB＝275AD.∴AD＝35AB.∵∠ADH＝∠ADF＋∠HDF＝90°，∠HDF＋∠DHF＝90°，∴∠ADF＝∠DHF.∵∠AFD＝∠DFH＝90°，∴△ADF∽△DHF.∴ADDH＝DFHF.即35AB9＝365275，∴AB＝20.类型二与切线性质有关的证明与计算1.(1)证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEM＋∠AME＝90°.又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE；(2)解：如解图，连接BC.第1题解图∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝6，∴BC＝8.在Rt△EAM中，AB＝BE＝BM＝6，则EM＝12，由(1)知，∠BAE＝∠AEB，∴△ABC∽△EAM.∴∠C＝∠AME，ACEM＝BCAM，即1012＝8AM，∴AM＝485.又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AME.∴AD＝AM＝485.2.(1)证明：如解图，连接OC，AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ACO＋∠OCB＝90°.又∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°.∴∠OCB＋∠BCD＝90°.∴∠ACO＝∠BCD.∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°.∴∠BCE＋∠ABC＝90°.∵∠A＋∠ABC＝90°，∴∠BCE＝∠A.∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝∠BCD.∴∠BCE＝∠ACO.∴∠BCE＝∠BCD；第2题解图(2)解：如解图，过点B作BF⊥CD于点F，得△BFD∽△CED.由(1)得∠BCE＝∠BCD，则BF＝BE.∵CE＝2BE，∴BDCD＝BFCE＝BECE＝12.即CD＝2BD.∵∠BCD＝∠A，∠CDB＝∠ADC，∴△CBD∽△ACD，∴BDCD＝CDAD.∵AD＝10，∴BD＝52，∴AB＝AD－BD＝152，∴OA＝154.∴⊙O的半径为154.