中考数学考点滚动小专题：与三角形有关的计算与证明

滚动小专题(六)与三角形有关的计算与证明1．(2016·河北)如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．解：(1)证明：∵BF＝EC，∴BF＋FC＝EC＋FC，即BC＝EF.又∵AB＝DE，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF.(2)AB∥DE，AC∥DF.理由：∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.∴AB∥DE，AC∥DF.2．(2017·苏州)如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.(1)求证：△AEC≌△BED；(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．解：(1)证明：∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD＝∠BOE.又∵∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO.∴∠AEC＝∠BED.在△AEC和△BED中，∠A＝∠B，AE＝BE，∠AEC＝∠BED，∴△AEC≌△BED(ASA)．(2)∵△AEC≌△BED，∴EC＝ED，∠C＝∠BDE.在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝42°，∴∠C＝∠EDC＝69°.∴∠BDE＝∠C＝69°.3．(2016·襄阳)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.(1)求证：AB＝AC；(2)若AD＝23，∠DAC＝30°，求AC的长．解：(1)证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.又∵BD＝CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF.∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.(2)∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.在Rt△ADC中，∵∠DAC＝30°，AD＝23，∴AC＝ADcos30°＝4.4．(2017·重庆)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是AC上一点，连接BE.(1)如图1，若AB＝42，BE＝5，求AE的长；(2)如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD，CF，当AF＝DF时，求证：DC＝BC.解：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AC＝BC＝22AB＝4.∵BE＝5，∴CE＝BE2－BC2＝3.∴AE＝4－3＝1.(2)证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝45°.∵AF⊥BD，∴∠AFB＝∠ACB＝90°.∴A，F，C，B四点共圆．∴∠CFB＝∠CAB＝45°，∴∠DFC＝∠AFC＝135°.在△ACF和△DCF中，AF＝DF，∠AFC＝∠DFC，CF＝CF，∴△ACF≌△DCF.∴AC＝DC.又∵AC＝BC，∴DC＝BC.5．(2017·北京)在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点(与点B，C不重合)，连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.(1)若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小；(用含α的式子表示)(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．解：(1)∵∠PAC＝α，△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠B＝45°，∠PAB＝45°－α.∵QH⊥AP，∴∠AHM＝90°.∴∠AMQ＝180°－∠AHM－∠PAB＝45°＋α.(2)PQ＝2MB.理由如下：连接AQ，作ME⊥QB于点E，∵∠PAC＋∠APC＝∠MQE＋∠APC＝90°，∴∠PAC＝∠MQE.∵AC⊥QP，CQ＝CP，∴∠QAC＝∠PAC＝α.∴∠QAM＝45°＋α＝∠AMQ.∴AP＝AQ＝QM.在△APC和△QME中，∠PAC＝∠MQE，∠ACP＝∠QEM，AP＝QM，∴△APC≌△QME(AAS)．∴PC＝ME.∵△MEB是等腰直角三角形，∴MB＝2ME＝2PC＝22PQ，即PQ＝2MB.6．如图，已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC.(1)如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC，DF，CF，判断△CDF的形状并证明；(2)如图2，E是直线BC上一点，且CE＝BD，直线AE，CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．解：(1)△CDF是等腰直角三角形．理由如下：∵AF⊥AD，∠ABC＝90°，∴∠FAD＝∠DBC.在△FAD和△DBC中，AD＝BC，∠FAD＝∠DBC，AF＝BD，∴△FAD≌△DBC(SAS)．∴FD＝DC.∴△CDF是等腰三角形．∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA＝∠DCB.∵∠BDC＋∠DCB＝90°，∴∠BDC＋∠FDA＝90°，即∠CDF＝90°.∴△CDF是等腰直角三角形．(2)∠APD的度数是固定值．作AF⊥AB于A，使AF＝BD，连接DF，CF.∵AF⊥AD，∠ABC＝90°，∴∠FAD＝∠DBC，AF∥CE.在△FAD和△DBC中，AD＝BC，∠FAD＝∠DBC，AF＝BD，∴△FAD≌△DBC(SAS)．∴FD＝DC.∴△CDF是等腰三角形．∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA＝∠DCB.∵∠BDC＋∠DCB＝90°，∴∠BDC＋∠FDA＝90°，即∠CDF＝90°.∴△CDF是等腰直角三角形．∴∠FCD＝45°.∵AF∥CE，且AF＝BD＝CE，∴四边形AFCE是平行四边形．∴AE∥CF.∴∠APD＝∠FCD＝45°.