中考数学考点滚动小专题：与四边形有关的计算与证明

滚动小专题(八)与四边形有关的计算与证明1．(2017·广州)如图，平面直角坐标系中O是原点，▱OABC的顶点A，C的坐标分别是(8，0)，(3，4)，点D，E把线段OB三等分，延长CD，CE分别交OA，AB于点F，G，连接FG，则下列结论：①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相似；③四边形DEGF的面积是203；④OD＝453.其中正确的结论是①③．(填写所有正确结论的序号)2．(2016·苏州)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD.∴AE∥CD，∠AOB＝90°.又∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，∴∠AOB＝∠EDB.∴DE∥AC.∴四边形ACDE是平行四边形．(2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝5.又∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8.∴△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.3．(2017·徐州)如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC.(1)求证：四边形BECD是平行四边形；(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝100°时，四边形BECD是矩形．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD.∴∠OEB＝∠ODC.又∵O为BC的中点，∴BO＝CO.在△BOE和△COD中，∠OEB＝∠ODC，∠BOE＝∠COD，BO＝CO，∴△BOE≌△COD(AAS)．∴OE＝OD.∴四边形BECD是平行四边形．4．(2017·湖州)已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.(1)如图1，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE，求证：OE＝OG；(2)如图2，H是BC上的点，过点Η作EΗ⊥BC，交线段OB于点E，连接DΗ交CE于点F，交OC于点G.若OE＝OG.①求证：∠ODG＝∠OCE；②当AB＝1时，求HC的长．解：(1)证明：∵四边形ABDC是正方形，∴AC⊥BD，OD＝OC.∴∠DOG＝∠COE＝90°.∴∠OEC＋∠OCE＝90°.∵DF⊥CE，∴∠OEC＋∠ODG＝90°.∴∠ODG＝∠OCE.∴△DOG≌△COE(ASA)．∴OE＝OG.(2)①证明：∵OD＝OC，∠DOG＝∠COE＝90°，OG＝OE，∴△DOG≌△COE(SAS)．∴∠ODG＝∠OCE.②设CH＝x，∵四边形ABCD是正方形，AB＝1，∴BH＝1－x，∠DBC＝∠BDC＝∠ACB＝45°.∵EH⊥BC，∴∠BEH＝∠EBH＝45°.∴EH＝BH＝1－x.∵∠ODG＝∠OCE，∴∠BDC－∠ODG＝∠ACB－∠OCE.∴∠HDC＝∠ECH.∵EH⊥BC，∴∠EHC＝∠HCD＝90°.∴△CHE∽△DCH.∴EHHC＝HCCD.∴HC2＝EH·CD，即x2＝1－x.解得x1＝5－12，x2＝－5－12(舍去)．∴HC＝5－12.5．(2017·上海)已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．证明：(1)在△ADE和△CDE中，AD＝CD，DE＝DE，EA＝EC，∴△ADE≌△CDE.∴∠ADE＝∠CDE.∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DBC.∴∠BDC＝∠DBC.∴CD＝BC＝AD.又∵AD∥BC.∴四边形ABCD是菱形．(2)∵BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE.设∠CBE＝2x°，∠BCE＝∠BEC＝3x°，则2x＋3x＋3x＝180，解得x＝22.5.∴∠CBD＝∠CDB＝45°.∴∠BCD＝90°.∴四边形ABCD是正方形．6．(2017·宁波)在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至E，F，G，H，使得AE＝CG，BF＝DH，连接EF，FG，GH，HE.(1)求证：四边形EFGH为平行四边形；(2)若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°.又∵BF＝DH，∴AD＋DH＝BC＋BF，即AH＝CF.在Rt△AEH中，EH＝AE2＋AH2.在Rt△CFG中，FG＝CG2＋CF2.∴EH＝FG.同理：EF＝HG.∴四边形EFGH为平行四边形．(2)在正方形ABCD中，AB＝AD＝1.设AE＝x，则BE＝x＋1.在Rt△BEF中，∠BEF＝45°，∴BE＝BF.∵BF＝DH，∴DH＝BE＝x＋1.∴AH＝AD＋DH＝x＋2.在Rt△AEH中，tan∠AEH＝2，∴AH＝2AE.∴2＋x＝2x.∴x＝2.故AE＝2.7．(2017·兰州)如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：△BDF是等腰三角形；(2)如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．图1图2解：(1)证明：由折叠性质知∠DBC＝∠DBE.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠DBC＝∠ADB.∴∠DBE＝∠ADB.∴DF＝BF.∴△BDF是等腰三角形．(2)①四边形BFDG是菱形．理由：∵AD∥BC，DG∥BE，∴四边形BGDF为平行四边形．又∵DF＝BF，∴四边形BGDF为菱形．②∵AB＝6，AD＝8，∠A＝90°，∴BD＝10，∴OB＝12BD＝5.设DF＝BF＝x，∴AF＝AD－DF＝8－x.在Rt△ABF中，AB2＋AF2＝BF2，即62＋(8－x)2＝x2，解得x＝254.∴BF＝254.∴FO＝BF2－OB2＝（254）2－52＝154.∴FG＝2FO＝152.8．准备一张矩形纸片ABCD，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AD∥BC.由翻折性质得BM＝AB，DN＝DC，∠A＝∠EMB，∠C＝∠DNF，∴BM＝DN，∠EMB＝∠DNF＝90°.∴BN＝DM，∠EMD＝∠FNB＝90°.∵AD∥BC，∴∠EDM＝∠FBN.∴△EDM≌△FBN(ASA)．∴ED＝FB.又∵ED∥FB，∴四边形BFDE是平行四边形．(2)∵四边形BFDE是菱形，∴∠EBD＝∠FBD，BE＝ED.∵∠ABE＝∠EBD，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝13×90°＝30°.在Rt△ABE中，∵AB＝2，∴AE＝233，BE＝433.∴ED＝433，∴AD＝23.∴S△ABE＝12AB·AE＝233，S矩形ABCD＝AB·AD＝43.∴S菱形BFDE＝43－2×233＝833.9．(2016·济宁)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF＝CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO.(1)已知EO＝2，求正方形ABCD的边长；(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝OC，△ABC是等腰直角三角形．在△ACF中，AC＝CF，CE平分∠ACF，∴AE＝EF.∴EO为△AFC的中位线．∴CF＝2EO＝22.∴AC＝22.∴AB＝AC2＝2，即正方形ABCD的边长为2.(2)猜想：EM＝12CN.证明：∵CF＝CA，CE是∠ACF的平分线，∴CE⊥AF.∴∠AEN＝∠CBN＝90°.∵∠ANE＝∠CNB，∴∠BAF＝∠BCN.在△ABF和△CBN中，∠BAF＝∠BCN，AB＝CB，∠ABF＝∠CBN＝90°，∴△ABF≌△CBN(ASA)．∴AF＝CN.∵∠BAF＝∠BCN，∠ACN＝∠BCN，∴∠BAF＝∠OCM.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∴∠ABF＝∠COM＝90°.∴△ABF∽△COM.∴CMAF＝COAB.∴CMCN＝COAB＝22，即CM＝22CN.由(1)知EO∥BC，∴△EOM∽△CBM.∴EOCB＝EMCM＝22.∴EM＝22CM＝22×22CN＝12CN.