中考数学考点滚动小专题：一次函数与反比例函数的综合

滚动小专题(四)一次函数与反比例函数的综合1．(2017·襄阳)如图，直线y1＝ax＋b与双曲线y2＝kx交于A，B两点，与x轴交于点C，点A的纵坐标为6，点B的坐标为(－3，－2)．(1)求直线和双曲线的解析式；(2)求点C的坐标，并结合图象直接写出y10时x的取值范围．解：(1)∵点B(－3，－2)在双曲线y2＝kx上，∴k－3＝－2.解得k＝6.∴双曲线的解析式为y2＝6x.把y2＝6代入y2＝6x，得x＝1，∴点A的坐标是(1，6)．∵直线y1＝ax＋b经过点A(1，6)，B(－3，－2)，∴a＋b＝6，－3a＋b＝－2.解得a＝2，b＝4.∴直线的解析式为y1＝2x＋4.(2)由y1＝0，得x＝－2，∴点C的坐标是(－2，0)．当y10时，x的取值范围是x－2.2．(2017·湘潭)已知反比例函数y＝kx的图象过点A(3，1)．(1)求反比例函数的解析式；(2)若一次函数y＝ax＋6(a≠0)的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求一次函数的解析式．解：(1)∵反比例函数y＝kx的图象过点A(3，1)，∴k＝3.∴反比例函数的解析式为y＝3x.(2)解y＝3x，y＝ax＋6得ax2＋6x－3＝0.∵一次函数y＝ax＋6(a≠0)的图象与反比例函数的图象只有一个交点，∴Δ＝36＋12a＝0.∴a＝－3.∴一次函数的解析式为y＝－3x＋6.3．(2017·兰州)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3交y轴于点A，交反比例函数y＝kx(x0)的图象于点D，y＝kx(x0)的图象过矩形OABC的顶点B，矩形OABC的面积为4，连接OD.(1)求反比例函数y＝kx的表达式；(2)求△AOD的面积．解：(1)∵直线y＝－x＋3交y轴于点A，∴A(0，3)．∴BC＝OA＝3.∵矩形OABC的面积为4，∴AB＝43.∴|k|＝4.又k0，∴k＝－4，反比例函数y＝kx的表达式为y＝－4x.(2)因为直线与反比例函数相交于点D，联立y＝－4x，y＝－x＋3，得x＝4，y＝－1.或x＝－1，y＝4.∵点D在第二象限，∴D(－1，4)．∴S△AOD＝12×3×1＝32.4．(2017·泰安)如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的斜边OA在x轴的正半轴上，∠OBA＝90°，且tan∠AOB＝12，OB＝25，反比例函数y＝kx的图象经过点B.(1)求反比例函数的表达式；(2)若△AMB与△AOB关于直线AB对称，一次函数y＝mx＋n的图象过点M，A，求一次函数的表达式．解：(1)过点B作BD⊥OA于点D，设BD＝a，∵tan∠AOB＝BDOD＝12，∴OD＝2BD.∵∠ODB＝90°，OB＝25，∴a2＋(2a)2＝(25)2.解得a＝±2(舍去－2)．∴a＝2.∴OD＝4.∴B(4，2)．∴k＝4×2＝8.∴反比例函数表达式为y＝8x.(2)∵tan∠AOB＝12，OB＝25，∴AB＝12OB＝5.∴OA＝OB2＋AB2＝（25）2＋（5）2＝5.∴A(5，0)．又∵△AMB与△AOB关于直线AB对称，B(4，2)．∴OM＝2OB.∴M(8，4)．把点M，A的坐标分别代入y＝mx＋n，得5m＋n＝0，8m＋n＝4.解得m＝43，n＝－203.故一次函数的表达式为y＝43x－203.5．(2017·菏泽)如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝ax的图象在第一象限交于A，B两点，B点的坐标为(3，2)，连接OA，OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C，若OC＝CA.(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求△AOB的面积．解：(1)把B点的坐标为(3，2)代入反比例函数y＝ax，得a＝6，∴y＝6x.∵BD⊥y轴，∴yC＝yB＝2.∵OC＝CA，∴yA＝2yC＝4.∴A点的坐标为(32，4)．把B点的坐标(3，2)，A点的坐标为(32，4)代入一次函数y＝kx＋b，得2＝3k＋b，4＝32k＋b，解得k＝－43，b＝6.∴y＝－43x＋6.(2)∵A点的坐标为(32，4)．∴直线OA的表达式是y＝83x.∵xA＝32，∴xC＝34.∴BC＝94.过A点作AF⊥x轴，则AF＝4.∴S△AOB＝12CB·AF＝92.6．(2017·江西)如图，直线y＝k1x(x≥0)与双曲线y＝k2x(x0)相交于点P(2，4)，已知点A(4，0)，B(0，3)，连接AB，将Rt△AOB沿OP方向平移，使点O移动到点P，得到△A′PB′，过点A′作A′C∥y轴交双曲线于点C.(1)求k1与k2的值；(2)求直线PC的表达式；(3)直接写出线段AB扫过的面积．解：(1)把点P(2，4)代入直线y＝k1x，可得4＝2k1，∴k1＝2.把点P(2，4)代入双曲线y＝k2x，可得k2＝2×4＝8.(2)∵A(4，0)，B(0，3)，∴AO＝4，BO＝3.延长A′C交x轴于D，由平移可得，A′P＝AO＝4.又∵A′C∥y轴，P(2，4)，∴点C的横坐标为2＋4＝6.当x＝6时，y＝86＝43，即C(6，43)．设直线PC的解析式为y＝kx＋b，把P(2，4)，C(6，43)代入，可得4＝2k＋b，43＝6k＋b，解得k＝－23，b＝163.∴直线PC的表达式为y＝－23x＋163.(3)延长A′C交x轴于D，由平移可得，A′P∥AO.又∵A′C∥y轴，P(2，4)，∴点A′的纵坐标为4，即A′D＝4.过B′作B′E⊥y轴于E，∵PB′∥y轴，P(2，4)．∴点B′的横坐标为2，即B′E＝2，又∵△AOB≌△A′PB′，∴线段AB扫过的面积＝平行四边形POBB′的面积＋平行四边形AOPA′的面积＝BO·B′E＋AO·A′D＝3×2＋4×4＝22.