中考数学考点讲解：正方形

第3课时正方形知识点1正方形的定义及性质1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有(C)A．4个B．6个C．8个D．10个第1题图第3题图2．已知正方形ABCD对角线AC，BD相交于点O，且AC＝16cm，则DO＝8cm，∠OCD＝45°．3．如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，则∠BED的度数是45°．4．已知：如图所示，E是正方形ABCD边BC延长线一点，若EC＝AC，AE交CD于点F，求∠AFC的度数．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD＝45°，∠BCD＝∠DCE＝90°.∴∠ACE＝135°.∵EC＝AC，∴∠E＝22.5°.∴∠AFC＝90°＋22.5°＝112.5°.知识点2正方形的判定5．在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，能判定这个四边形是正方形的条件是(A)A．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BDB．AB∥CD，AC＝BDC．AD∥BC，∠A＝∠CD．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC6．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：答案不唯一，如：∠DAB＝90°，使得该菱形为正方形．7．如图，点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA′＝BB′＝CC′＝DD′.求证：四边形A′B′C′D′是正方形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA.又∵AA′＝BB′＝CC′＝DD′，∴D′A＝A′B＝B′C＝C′D.∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′.∴A′B′＝B′C′＝C′D′＝D′A′，∠1＝∠3.∴四边形A′B′C′D′是菱形．又∵∠1＝∠3，∠1＋∠2＝90°，∴∠2＋∠3＝90°.∴∠D′A′B′＝90°.∴四边形A′B′C′D′是正方形.重难点正方形的性质与判定如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，过E作EF⊥AD于F，连接BF交AE于P，连接PD.(1)求证：四边形ABEF是正方形；(2)如果AB＝4，AD＝7，求tan∠ADP的值．【思路点拨】(1)由矩形的性质得出∠FAB＝∠ABE＝90°，AF∥BE，从而证出四边形ABEF是矩形，再证明AB＝BE，即可得出四边形ABEF是正方形；(2)由正方形的性质得出BP＝PF，BA⊥AD，∠PAF＝45°，得出AB∥PH，求出DH＝AD－AH＝5，在Rt△PHD中，由三角函数即可得出结果．【自主解答】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠FAB＝∠ABE＝90°，AF∥BE.∵EF⊥AD，∴∠FAB＝∠ABE＝∠AFE＝90°.∴四边形ABEF是矩形．∵AE平分∠BAD，AF∥BE，∴∠FAE＝∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE.∴四边形ABEF是正方形．(2)过点P作PH⊥AD于H.∵四边形ABEF是正方形，∴BP＝PF，BA⊥AD.∴AB∥PH.∵AE平分∠BAD，∴∠PAF＝45°.∵AB＝4，∴AH＝PH＝2.∵AD＝7，∴DH＝AD－AH＝7－2＝5.在Rt△PHD中，∠PHD＝90°.∴tan∠ADP＝PHHD＝25.【变式训练】如图，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，连接CF.(1)求证：∠HEA＝∠CGF；(2)当AH＝DG时，求证：菱形EFGH为正方形．证明：(1)连接GE.∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD.∴∠AEG＝∠CGE.∵四边形EFGH为菱形，∴GF∥HE.∴∠HEG＝∠FGE.∴∠HEA＝∠CGF.(2)∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°.∵四边形EFGH是菱形，∴HG＝HE.在Rt△HAE和Rt△GDH中，AH＝DG，HE＝HG，∴Rt△HAE≌Rt△GDH(HL)．∴∠AHE＝∠DGH.又∠DHG＋∠DGH＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°.∴∠GHE＝90°.∴菱形EFGH为正方形．,方法指导1．判定正方形的基本思路：(1)若四边形是平行四边形，则需要证一个角是直角和一组邻边相等；(2)若四边形是矩形，则需要证一组邻边相等或者对角线互相垂直；(3)若四边形是菱形，则需要证一个内角是直角或者对角线相等；(4)若已知一个四边形，则需要先证明其为平行四边形，再证明其为正方形也可以直接证明其既是矩形又是菱形．2．对于正方形性质，应注意应用其性质及由性质得到的一些结论：(1)四角相等，均为90°，四边相等；(2)对角线垂直且相等；(3)对角线平分一组对角得到45°角；(4)边长与对角线的长度比为1∶2.另外在几何题中求线段长，一般会用列方程思想，列方程的主要依据是：(1)勾股定理(需要有直角的条件或能构造出直角来)；(2)相似三角形对应边成比例(适用于等角较多易证相似的题目)；(3)线段的和差(一般用于有方位角用锐角函数解决的题型)；(4)特殊图形的性质定理，如等角对等边，平行四边形对边相等等．针对这些依据合理利用正方形的一些性质及判定.1．(2016·内江)下列命题中，真命题是(C)A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形2．(2017·枣庄)如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为(B)A．2B.3C.2D．1第2题图第3题图3．如图，▱ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE＝40°，∠CEF＝15°，则∠D的度数是(A)A．65°B．55°C．70°D．75°4．(2017·泰安)如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB＝12，BM＝5，则DE的长为(B)A．18B.1095C.965D.253第4题图第5题图5．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为(C)A.722B．32C．5D．66．(2017·黄冈)已知，如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED＝45°．7．(2017·兰州)在▱ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是：①③④．8．(2017·常德)如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形ABCD的边上，若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为y＝2x2－4x＋4．9．(2017·广安)如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是边AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：AF＝BE.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°.∴∠ABF＋∠CBG＝90°.∵BF⊥CE，∴∠BCE＋∠CBG＝90°.∴∠BCE＝∠ABF.在△BCE和△ABF中，∠BCE＝∠ABF，BC＝AB，∠CBE＝∠A，∴△BCE≌△ABF(ASA)．∴AF＝BE.10．(2017·株洲)如图，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC交于点G，连接CF.求证：(1)△DAE≌△DCF；(2)△ABG∽△CFG.证明：(1)∵△DEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴DE＝DF，DC＝DA，∠B＝∠EDF＝∠ADC＝90°，∠EFD＝∠DEF＝45°.∴∠CDF＋∠ADF＝∠ADE＋∠ADF，∴∠CDF＝∠ADE.在△DAE和△DCF中，DA＝DC，∠ADE＝∠CDF，DE＝DF，∴△DAE≌△DCF.(2)∵△DAE≌△DCF，∴∠DFC＝∠DEF＝45°.∵∠EFD＝45°，∠DFC＝45°，∴∠EFD＋∠DFC＝90°，即∠GFC＝90°.∴∠GFC＝∠B.∵∠AGB＝∠CGF，∴△ABG∽△CFG.11．(2017·泰州)如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，连接DE.(1)求证：△ABE≌△DAF；(2)若AF＝1，四边形ABED的面积为6，求EF的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD.∵DF⊥AG，BE⊥AG，∴∠BAE＋∠DAF＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°.∴∠BAE＝∠ADF.在△ABE和△DAF中，∠BAE＝∠ADF，∠AEB＝∠DFA，AB＝DA，∴△ABE≌△DAF(AAS)．(2)设EF＝x，则AE＝DF＝x＋1，由题意，得2×12(x＋1)·1＋12x(x＋1)＝6，解得x1＝2，x2＝－5(舍去)．∴EF＝2.12．(2017·攀枝花)如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，过点G作GH⊥CE于点H，若S△EGH＝3，则S△ADF＝(A)A．6B．4C．3D．213．(2017·呼和浩特)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，E，F为BD所在直线上的两点，若AE＝5，∠EAF＝135°，则以下结论正确的是(C)A．DE＝1B．tan∠AFO＝13C．AF＝102D．四边形AFCE的面积为94提示：过点F作FM⊥AE交EA的延长线与点M，可通过解直角三角形求得各线段的长，进而得解．DE＝2，tan∠AFO＝12，四边形AFCE的面积为52.14．(2017·杭州)如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．解：(1)AG2＝GE2＋GF2.理由：连接CG.∵四边形ABCD是正方形，∴A，C关于对角线BD对称．∵点G在BD上，∴GA＝GC.∵GE⊥DC，GF⊥BC，∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°.∴四边形EGFC是矩形．∴CF＝GE.在Rt△GFC中，∵CG2＝GF2＋CF2，∴AG2＝GF2＋GE2.(2)作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM＝BM，连接AM.设AN＝x.∵∠AGF＝105°，∠FBG＝∠FGB＝∠ABG＝45°，∴∠AGB＝60°，∠GBN＝30°.∴∠ABM＝15°.∵AM＝BM，∴∠MAB＝∠ABM＝15°.∴∠AMN＝30°.∴AM＝BM＝2x，MN＝3x.∴BN＝2x＋3x.在Rt△ABN中，∵AB2＝AN2＋BN2，∴1＝x2＋(2x＋3x)2，解得x＝6－24或x＝2－64(舍去)．∴BN＝6＋24.∴BG＝BNcos30°＝32＋66.