中考数学考点讲解：反比例函数

第11讲反比例函数知识点1反比例函数的概念1．下列函数中，是反比例函数的是(C)A．y＝3xB．y＝13xC．y＝13xD．y＝3x＋1知识点2反比例函数的图象与性质2．已知反比例函数y＝n＋5x的图象经过点(2，3)，则n的值是(D)A．－2B．－1C．0D．13．若反比例函数y＝－1x的图象上有两点A(1，y1)，B(2，y2)，则y1＜y2.(填“＞”“＝”或“＜”)知识点3反比例函数中k的几何意义4．如图，点A为反比例函数y＝－4x图象上的一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为(D)A．－4B．4C．－2D．2知识点4确定反比例函数的解析式5．已知点P在双曲线y＝kx(k≠0)上，点P′(3，5)与点P关于y轴对称，则此双曲线的解析式为y＝－15x．知识点5反比例函数与一次函数综合6．如图，已知反比例函数y＝kx的图象与直线y＝－x＋b都经过点A(1，4)，且该直线与x轴的交点为B.(1)求反比例函数和直线的解析式；(2)求△AOB的面积．解：(1)把A(1，4)代入y＝kx，得k＝1×4＝4，∴反比例函数的解析式为y＝4x.把A(1，4)代入y＝－x＋b，得－1＋b＝4，解得b＝5.∴直线的解析式为y＝－x＋5.(2)当直线的解析式中y＝0时，－x＋5＝0，解得x＝5，则B(5，0)．∴S△AOB＝12×5×4＝10.知识点6反比例函数的实际应用7．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/小时的平均速度用了4小时到达乙地．当他按照原路返回时，汽车的速度v(千米/小时)与时间t(小时)的函数关系是(B)A．v＝320tB．v＝320tC．v＝20tD．v＝20t重难点1反比例函数的图象和性质已知反比例函数y＝kx，完成下列问题：(1)若k0，则函数分布在第二、四象限；(2)若点A(2，m)和点B(n，－1)都在函数y＝kx的图象上，且关于原点成中心对称，则m＋n＝－1；(3)当k0时，有点A(x1，y1)与点B(x2，y2)在反比例函数y＝kx的图象上，若y1y2，则x1与x2的大小关系是0x1x2或x1x20或x10x2；(4)如图，在同一直角坐标系中，函数y＝kx与y＝kx＋k2的大致图象是(C)方法指导反比例函数图象除一般常规的性质外，还有一条重要性质——对称性，反比例函数图象既是轴对称对称图形又是中心对称图形．方法指导判断同一坐标系中反比例函数与一次函数图象共存的方法：假设其中反比例函数解析式与图象吻合，确定k的取值范围，然后确定一次函数的图象，看是否相符．易错提示注意反比例函数的增减性需要强调“在每个象限内”．【变式训练1】(2017·菏泽)直线y＝kx(k0)与双曲线y＝6x交于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点，则3x1y2－9x2y1的值为36．,重难点2反比例函数中k的几何意义(2017·威海)如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为(－4，0)，点B在y轴上，若反比例函数y＝kx(k≠0)的图象过点C，则该反比例函数的表达式为(A)A．y＝3xB．y＝4xC．y＝5xD．y＝6x【思路点拨】由题易得OB＝3，所以sin∠OBC＝sin∠OAB＝35，过点C作CE垂直于x轴于点E，设BC与x轴交于点F，则由△OBF∽△ECF可求出OF，EF，CF的长度，即可求出k值．【变式训练2】(2017·衡阳)如图，已知点A，B分别在反比例函数y＝1x(x0)，y＝－4x(x0)的图象上，且OA⊥OB，则OBOA的值为(B)A.2B．2C.3D．4【变式训练3】(2017·咸宁)在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为(1，0)，顶点A的坐标为(0，2)，顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为(C)A．(32，0)B．(2，0)C．(52，0)D．(3，0)方法指导“积不变”是反比例函数的核心性质，从反比例函数y＝kx的图象上的任意一点，向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形面积等于|k|；从反比例函数y＝kx的图象上的任意一点，向x轴或y轴作垂线，则以这点与垂足、原点为顶点的三角形面积等于|k2|.当题中条件不能直接求出k值时，若有线段相等或角相等时可考虑用全等或相似来解决有关问题．易错提示在运用k的几何意义确定k值时，一定要结合函数图象确定k取值的范围，否则易出现符号错误．重难点3反比例函数与一次函数综合如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝ax＋b(a，b为常数，且a≠0)与反比例函数y2＝mx(m为常数，且m≠0)的图象交于点A(－2，1)，B(1，n)．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)连接OA，OB，求△AOB的面积．【思路点拨】本题重点考察一次函数与反比例函数的综合应用．(1)要求一次函数与反比例函数的解析式，转化为确定A，B两点的坐标，已知A点坐标，从而确定出B点坐标，利用待定系数法即可求出一次函数解析式；(2)题中不能直接求出△AOB面积，可转化为几个三角形面积之和来求解．【自主解答】(1)由题意，得点A(－2，1)在反比例函数y2＝mx的图象上，∴1＝m－2.∴m＝－2.∴反比例函数解析式为y2＝－2x.又∵点B(1，n)也在反比例函数y2＝－2x的图象上，∴n＝－21＝－2.∴B(1，－2)．∵点A，B在一次函数y1＝ax＋b的图象上，∴1＝－2a＋b，－2＝a＋b.解得a＝－1，b＝－1.∴一次函数解析式为y1＝－x－1.(2)设直线AB交y轴于点C，∴OC＝1.分别过点A，B作AE⊥y轴，BF⊥y轴，垂足分别为E，F.∵A(－2，1)，B(1，－2)，∴AE＝2，BF＝1.∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝12OC·AE＋12OC·BF＝12×1×2＋12×1×1＝32.方法指导(1)一般先求反比例函数解析式，因为它只需一个点的坐标；然后再根据反比例函数解析式求另一个交点坐标；最后根据两个点的坐标求一次函数解析式；(2)先求出一次函数与y轴的交点坐标，然后利用“割补法”，将要求的三角形分割成两个三角形的面积之和．Ｋ,【变式训练4】如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝6x(x0)的图象交于A(m，6)，B(3，n)两点．(1)求一次函数解析式；(2)求△AOB的面积．解：(1)∵A(m，6)，B(3，n)两点在反比例函数y＝6x(x0)的图象上，∴m＝1，n＝2，即A(1，6)，B(3，2)．又∵A(1，6)，B(3，2)两点在一次函数y＝kx＋b图象上，∴k＋b＝6，3k＋b＝2，解得k＝－2，b＝8.∴一次函数解析式为y＝－2x＋8.(2)分别过点A，B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别为E，C点，直线AB交x轴于D点．令－2x＋8＝0，得x＝4，即D(4，0)．∵A(1，6)，B(3，2)，∴AE＝6，BC＝2.∴S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝12×4×6－12×4×2＝8.,变式点：将两个函数相交的方式改变，由交点在“两象限”变“一象限”.方法指导：求两个交点与坐标原点构成的三角形的面积的关键点与例题相同——一次函数图象与x轴的交点；方法也是割补法，本题知识是用两个三角形的面积之差．拓展提问(3)探究：x轴上是否存在点P，使得PA＋PB最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：∵点B坐标为(3，2)，∴点B(3，2)关于x轴的对称点为B′(3，－2)，过点A(1，6)，点B′(3，－2)的直线解析式为y＝kx＋b，可得k＋b＝6，3k＋b＝－2，解得k＝－4，b＝10.∴直线AB′的解析式为y＝－4x＋10.根据题意知，直线AB′与x轴的交点即为所求点P，当y＝0时，得－4x＋10＝0，解得x＝52.故点P的坐标为(52，0)．,变式点：利用轴对称性质，在x轴上找一点到反比例函数图象上的两个点的距离和最短.1．(2017·台州)已知电流I(安培)、电压U(伏特)、电阻R(欧姆)之间的关系为I＝UR，当电压为定值时，I关于R的函数图象是(C)2．(2017·广东)如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝k1x(k1≠0)与双曲线y＝k2x(k2≠0)相交于A，B两点，已知点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标为(A)A．(－1，－2)B．(－2，－1)C．(－1，－1)D．(－2，－2)3．反比例函数y＝kx与一次函数y＝－kx－k在同一直角坐标系中的图象可能是(C)4．(2017·兰州)如图，反比例函数y＝kx(x0)与一次函数y＝x＋4的图象交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为－3，－1，则关于x的不等式kxx＋4(x0)的解集为(B)A．x－3B．－3x－1C．－1x0D．x－3或－1x0第4题图第5题图5．(2017·枣庄)如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为(－3，4)，顶点C在x轴的负半轴上，函数y＝kx(x0)的图象经过顶点B，则k的值为(C)A．－12B．－27C．－32D．－366．(2016·怀化)已知点P(3，－2)在反比例函数y＝kx(k≠0)的图象上，则k＝－6．7．(2016·益阳)我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比例函数y＝－3x的图象上有一些整点，请写出其中一个整点的坐标答案不唯一，如：(－3，1)．8．(2017·烟台)如图，直线y＝x＋2与反比例函数y＝kx的图象在第一象限交于点P，若OP＝10，则k的值为3．9．(2017·常德)如图，已知反比例函数y＝kx的图象经过点A(4，m)，AB⊥x轴，且△AOB的面积为2.(1)求k和m的值；(2)若点C(x，y)也在反比例函数y＝kx的图象上，当－3≤x≤－1时，求函数值y的取值范围．解：(1)∵△AOB的面积为2，∴k＝4.∴m＝1.(2)函数y＝4x，当－3≤x≤－1时，函数值随着x的增大而减小，∴函数值y的取值范围是－4≤y≤－43.10．(2016·德州)某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示：第1天第2天第3天第4天售价x(元/双)150200250300销售量y(双)40302420(1)观察表中数据，x，y满足什么函数关系？请求出这个函数关系式；(2)若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为多少元？解：(1)由表中数据，得xy＝6000，∴y＝6000x.∴y是x的反比例函数，且函数关系式为y＝6000x.(2)由题意，得(x－120)y＝3000，将y＝6000x代入，得(x－120)·6000x＝3000.解得x＝240.经检验，x＝240是原方程的根．答：若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为240元．11．(2017·滨州)在平面直角坐标系内，直线AB垂直于x轴于点C(点C在原点的右侧)，并分别与直线y＝x和双曲线y＝1x相交于点A，B，且AC＋BC＝4，则△OAB的面积为(A)习题解析A．23＋3或23－3B.2＋1或2－1C．23－3D.2－112．(2017·临沂)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝kx(x0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点，△OMN的面积为10.若动点P在x轴上，则PM＋PN的最小值是(C)A．62B．10C．226D．229提示：由正方形OABC的边长是6，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为6，求得M(6，k6)，N(k6，6)，根据三角形的面积列方程得到M(6，4)，N(4，6)，作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长＝PM＋PN的最小值，根据勾股定理即可得到结论．13．(2017·孝感)如图，在平面直角坐标系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函数y＝kx(x0)