中考数学考点讲解：与圆有关的位置关系

第23讲与圆相关的位置关系知识点1点与圆的位置关系1．已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是(C)A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．点A与圆心O重合2．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，若以点A为圆心，以4为半径作⊙A，则下列各点在⊙A外的是(C)A．点AB．点BC．点CD．点D知识点2直线与圆的位置关系3．已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是(A)A．相交B．相切C．相离D．无法判断4．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以2为半径为⊙C，则斜边AB与⊙C的位置关系是(C)A．相交B．相切C．相离D．无法确定知识点3切线的性质5．如图，AB和⊙O相切于点B，∠AOB＝60°，则∠A的大小为(B)A．15°B．30°C．45°D．60°第5题图第6题图6．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为(A)A.12B.22C.32D.33知识点4切线的判定7．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PA，PB，AB，已知∠PBA＝∠C.求证：PB是⊙O的切线．证明：连接OB.∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∠C＋∠BAC＝90°.∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA.∵∠PBA＝∠C，∴∠PBA＋∠OBA＝90°，即PB⊥OB.∴PB是⊙O的切线．知识点5切线长定理8．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D，若PA＝5，则△PCD的周长为(D)A．5B．7C．8D．10知识点6三角形与圆9．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的(B)A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点第9题图第10题图10．如图，△ABC的内切圆的三个切点分别为D，E，F，∠A＝75°，∠B＝45°，则圆心角∠EOF＝120°.重难点切线的性质与判定(2017·咸宁T21，9分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若AE＝4，cosA＝25，求DF的长．【思路点拨】(1)连接OD，可以先证明OD∥AC，根据DF⊥AC即可得出结论；(2)过圆心O作OG⊥AC于点G，根据cosA＝25，可求出OG的长，且可证四边形ODFG是矩形，即可求出DF的长．(1)证明：连接OD.∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B.又∵AB＝AC，∴∠C＝∠B.∴∠ODB＝∠C.∴OD∥AC.······2分∵DF⊥AC，∴∠DFC＝90°.∴∠ODF＝∠DFC＝90°.∴DF是⊙O的切线.······4分(2)作OG⊥AC于点G，∴AG＝12AE＝2.······5分∵cosA＝AGOA，∴OA＝AGcosA＝225＝5.∴OG＝OA2－AG2＝21.·····7分∵∠ODF＝∠DFG＝∠OGF＝90°，∴四边形OGFD为矩形．∴DF＝OG＝21.······9分方法指导证明圆的切线时，可以分以下两种情况：(1)若直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：“连半径，证垂直，得切线”．“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角(如例(1))；(2)直线与圆没有已知的公共点时，通常过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，可简述为：“作垂直，证半径，得切线”．证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角两边的距离相等(如【变式训练1】(1))．【变式训练1】(2016·贵港)如图，在△ABC中，AB＝AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D.(1)求证：AB是半圆O所在圆的切线；(2)若cos∠ABC＝23，AB＝12，求半圆O所在圆的半径．解：(1)证明：作OE⊥AB于E，连接OD，OA.∵AB＝AC，O为BC的中点，∴∠CAO＝∠BAO.∵AC与半圆O相切于D，∴OD⊥AC.∵OE⊥AB，∴OD＝OE.∴AB经过圆O半径的外端点，∴AB是半圆O所在圆的切线．(2)∵cos∠ABC＝23，AB＝12，∴OB＝8.由勾股定理，得AO＝AB2－OB2＝45.由三角形的面积公式，得S△AOB＝12AB·OE＝12OB·AO.∴OE＝OB·AOAB＝853.∴半圆O所在圆的半径是853.,变式点本题将切线的判定与性质结合锐角三角函数进行考查．【变式训练2】(2017·菏泽)如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，连接PA交⊙O于点C.连接BC.(1)求证：∠BAC＝∠CBP；(2)求证：PB2＝PC·PA；(3)当AC＝6，CP＝3时，求sin∠PAB的值．解：(1)证明：∵PB与⊙O相切于点B，∴OB⊥PB.∴∠ABP＝90°.∴∠ABC＋∠CBP＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠A＋∠ABC＝90°.∴∠BAC＝∠CBP.(2)证明：在△ABP和△BCP中，∠ABP＝∠BCP＝90°，∠A＝∠CBP，∴△ABP∽△BCP.∴APBP＝BPCP.∴PB2＝PC·PA.(3)∵AC＝6，CP＝3，∴AP＝PC＋AC＝3＋6＝9.∴PB2＝PC·PA＝3×9＝27.∴PB＝33.∴sin∠PAB＝PBPA＝339＝33.,变式点本题以切线的性质为主线，综合考查三角形相似和锐角三角函数，三者之间环环相扣，由切线的性质推出角相等，由角相等证明三角形相似(常见的三垂直模型)，由三角形相似求线段长，由线段的长求出某锐角的三角函数值．题目难度适中，设计精巧．1．(2017·自贡)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC.若∠P＝40°，则∠B等于(B)A．20°B．25°C．30°D．40°2．在一个三角形中，已知AB＝AC＝6cm，BC＝8cm，D是BC的中点，以D为圆心作一个半径为5cm的圆，则下列说法正确的是(C)A．点A在⊙D外B．点B在⊙D上C．点C在⊙D内D．无法确定3．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为(0，3)，点B为(2，1)，点C为(2，－3)．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是(C)A．(0，0)B．(1，0)C．(－2，－1)D．(2，0)4．(2017·日照)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是(A)A．53B．52C．5D.525．(2017·泰安)如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC＝55°，则∠ACD等于(A)A．20°B．35°C．40°D．55°6．(2017·百色)以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是(D)A．0≤b22B．－22≤b≤22C．－23b23D．－22b227．(2017·武汉)已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为(C)A.32B.32C.3D．238．(2017·连云港)如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB＝12，AC＝8，则⊙O的半径长为5．第8题图第9题图9．(2017·眉山中考改编)如图，在△ABC中，∠A＝66°，点I是内心，则∠BIC的大小为123°．10．(2017·徐州)如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为D，AB＝BC＝2，则∠AOB＝60°．第10题图第11题图11．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN)，则剪下的△AMN的周长为20__cm．12．(2017·德州)如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点．以AC为直径的⊙O交AB于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的长．解：(1)证明：连接OE，CE.∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC＝∠BEC＝90°.∵D是BC的中点，∴ED＝12BC＝DC.∴∠DEC＝∠DCE.∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE.∴∠DEC＋∠OEC＝∠DCE＋∠OCE，即∠OED＝∠ACD.∵∠ACD＝90°，∴∠OED＝90°，即OE⊥DE.又∵E是⊙O上一点，∴DE是⊙O的切线．(2)由(1)知∠BEC＝90°.在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B为公共角，∴△BEC∽△BCA.∴BEBC＝BCBA.即BC2＝BE·BA.∵AE∶EB＝1∶2，设AE＝x，则BE＝2x，BA＝3x.又∵BC＝6，∴62＝2x·3x.∴x＝6，即AE＝6.13．(2017·山西)如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O的切线交于点D.(1)若AC＝4，BC＝2，求OE的长；(2)试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝AC2＋BC2＝42＋22＝25，∴OA＝12AB＝5.∵OD⊥AB，∴∠AOE＝∠ACB＝90°.又∵∠A＝∠A，∴△AOE∽△ACB.∴OECB＝AOCA，即OE2＝54.解得OE＝52.(2)∠CDE＝2∠A.理由如下：连接OC，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A.∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.∴∠OCD＝90°.∴∠DOC＋∠CDE＝90°.∵OD⊥AB，∴∠DOC＋∠COB＝90°.∴∠COB＝∠CDE.∵∠COB＝∠A＋∠ACO＝DOC∠A，∴∠CDE＝DOC∠A.14．(2017·枣庄)如图，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点)，如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为(B)A．22r17B.17r32C.17r5D．5r29第14题图第15题图15．(2017·安顺)如图，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长为(B)A.65B.85C.75D.23516．(2017·无锡)如图，菱形ABCD的边AB＝20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，AO＝10，则⊙O的半径长等于(C)A．5B．6C．25D．3217．(2017·衢州)如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为(－1，0)，半径为1，点P为直线y＝－34x＋3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是22．18．(2017·南宁)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过弧BD上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE.(1)求证：△ECF∽△GCE；(2)求证：EG是⊙O的切线；(3)延长AB交GE的延长线于点M，若tanG＝34，AH＝33，求EM的值．解：(1)证明：∵AB是直径，CD⊥AB，∴AC︵＝AD︵.∴∠CEF＝∠ACD.又∵EG∥AC，∴∠CGE＝∠ACD.∴∠CEF＝∠CGE.又∵∠ECF＝∠GCE，∴△ECF∽△GCE.(2)证明：连接OE，∵EG＝FG，∴∠GFE＝∠GEF.∵∠OAF＋∠AFH＝90°，∠AFH＝∠GFE，∴∠GEF＋∠OAF＝90°.∵OA＝OE，∴∠OAF＝∠OEA.∴∠GEF＋∠OEA＝90°.∴EG是⊙O的切线．(3)连接OC，∵tanG＝34，∠G＝∠ACH，∴tan∠ACH＝AHCH＝34.∵AH＝33，∴CH＝43.设⊙O的半径为r，在Rt△CHO中，根据勾股定理有r2＝(43)2＋(r－33)2，解得r＝2536.∵∠EOM＋∠M＝90°，