中考数学考点讲解：圆的基本性质

第六单元圆第22讲圆的基本性质知识点1圆的有关概念及性质1．下列说法错误的是(B)A．直径是圆中最长的弦B．长度相等的两弧是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧知识点2垂径定理及其推论2．如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝(A)A．5B．7C．9D．11第2题图第3题图3．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于(D)A．8B．2C．10D．5知识点3圆心角、弧、弦之间的关系4．如图，在⊙O中，AC︵＝BD︵，∠AOB＝40°，则∠COD的度数是(B)A．20°B．40°C．50°D．60°第4题图第5题图5．如图，AB是⊙O的直径，BC︵＝CD︵＝DE︵，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是(A)A．51°B．56°C．68°D．78°知识点4圆周角定理及其推论6．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠B＝75°，则∠AOC的度数是(A)A．150°B．140°C．130°D．120°第6题图第7题图7．如图，已知AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠CAB的度数为(C)A．20°B．40°C．50°D．70°知识点5圆内接四边形的性质8．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD＝110°，则∠BAD＝70°．9．如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC.(1)求证：AB＝AC；(2)若AB＝4，BC＝23，求CD的长．解：(1)证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠C.∵∠EDC＋∠ADE＝∠ADE＋∠B＝180°，∴∠EDC＝∠B.∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.(2)连接AE.∵AB为直径，∴AE⊥BC.由(1)知AB＝AC＝4，∴BE＝CE＝12BC＝3.又由(1)知∠EDC＝∠B，∠C＝∠C，∴△EDC∽△ABC.∴CECA＝CDCB.∴CE·CB＝CD·CA.∴3×23＝4CD.∴CD＝32.重难点圆周角定理及其推论(2017·临沂)如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.(1)求证：DE＝DB；(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．【思路点拨】(1)根据DE和BD在同一个三角形当中，利用角平分线的性质以及圆周角定理证明∠DBE＝∠DEB；(2)由∠BAC＝90°，可知BC为直径，且∠BDC＝90°，在Rt△BCD中，利用勾股定理可求出直径BC的长．【自主解答】(1)证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE.∴∠DBE＝∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.又∵∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∴∠DBE＝∠BED.∴DE＝DB.(2)连接DC，∵∠BAC＝90°，∴BC是直径．∴∠BDC＝90°.∵∠BAD＝∠CAD，BD＝4，∴BD＝CD＝4.∴BC＝BD2＋CD2＝42.∴外接圆的半径为22.例题剖析1．本题源于人教版九上教材P87例4的改编，考查的核心知识点是圆周角定理及其推论．2．在第(2)问的解答中有两点必须注意：①根据圆内接四边形对角互补，由∠BAC＝90°直接得出∠BDC＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，说明BC是直径；②根据圆周角相等得出所对的弦相等，结合①中的BC是直径，可以构造等腰直角三角形．方法指导此题有以下两种解法：1．若连接BE，则用到以下知识点：①直径所对的圆周角等于90°；②圆内接四边形对角互补．2．若连接AC，则用到以下知识点：①直径所对的圆周角等于90°；②同弧所对的圆周角相等．【变式训练1】(2017·黄冈)已知如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝70°，则∠ADC的度数为(B)A．30°B．35°C．45°D．70°变式训练1图变式训练2图【变式训练2】(2017·青岛)如图，AB是⊙O的直径，C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为(B)A．100°B．110°C．115°D．120°1．(2017·徐州)如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝72°，则∠ACB等于(D)A．28°B．54°C．18°D．36°第1题图第2题图2．(2017·广州)如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是(D)A．AD＝2OBB．CE＝EOC．∠OCE＝40°D．∠BOC＝2∠BAD3．(2017·黔东南)如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝15°，半径为2，则弦CD的长为(A)A．2B．1C.2D．4第3题图第4题图4．(2017·泰安)如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝α，则∠OBC等于(D)A．180°－2αB．2αC．90°＋αD．90°－α5．(2016·杭州)如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上(不与A，C重合)，点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB＝3∠ADB，则(D)A．DE＝EBB.2DE＝EBC.3DE＝DOD．DE＝OB第5题图第6题图6．如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE，若AB＝8，CD＝2，则△BCE的面积为(A)A．12B．15C．16D．187．(2017·淮安)如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是120°．第7题图第8题图8．(2017·长沙)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为5．9．(2017·十堰)如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的平分线交⊙O于D，若AC＝6，BD＝52，则BC的长为8．第9题图第10题图10．(2017·湖州)如图，已知在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径作半圆O，交BC于点D.若∠BAC＝40°，则AD︵的度数是140°．11．(2016·宁夏)如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC.(1)求证：AB＝AC；(2)若AB＝4，BC＝23，求CD的长．解：(1)证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠C.∵∠EDC＝∠B，∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.(2)连接AE.∵AB为直径，∴AE⊥BC.由(1)知AB＝AC，∴BE＝CE＝12BC＝3.又由(1)知∠EDC＝∠B，∠C＝∠C，∴△EDC∽△ABC.∴CECA＝CDCB.∴CE·CB＝CD·CA.∵AC＝AB＝4，∴3×23＝4CD.∴CD＝32.12．(2017·潍坊)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为(C)A．50°B．60°C．80°D．85°第12题图第13题图13．(2017·广安)如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB＝45，BD＝5，则OH的长度为(D)A.23B.56C．1D.7614．(2017·孝感)已知半径为2的⊙O中，弦AC＝2，弦AD＝22，则∠COD的度数为30°或150°．15．(2016·广东)如图，点P是四边形ABCD外接圆⊙O上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是⊙O的直径，AB＝BC＝CD，连接PA，PB，PC，若PA＝a，则点A到PB和PC的距离之和AE＋AF＝3＋12a．16．(2016·聊城)如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E为OB的中点，连接CE并延长交⊙O于点F，点F恰好落在AB︵的中点，连接AF并延长与CB的延长线相交于点G，连接OF.(1)求证：OF＝12BG；(2)若AB＝4，求DC的长．解：(1)证明：∵点F是AB︵的中点，∴AF︵＝BF︵.∴∠AOF＝∠BOF＝90°.∵∠ABC＝∠ABG＝90°，∴∠AOF＝∠ABG.∴FO∥BG.∴△AOF∽△ABG.∴AOAB＝OFBG＝12，即OF＝12BG.(2)在△FOE和△CBE中，∠FOE＝∠CBE，EO＝EB，∠OEF＝∠BEC，∴△FOE≌△CBE(ASA)．∴BC＝OF＝12AB＝2.∴AC＝AB2＋BC2＝25.连接DB.∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°.∴∠BDC＝∠ABC.∵∠BCD＝∠ACB，∴△BCD∽△ACB.∴CDCB＝BCAC.∴DC2＝225.解得DC＝255.