人教版九年级数学中考复习专题练：相似（一）—教师版

2020·九年级·中考·专题·教师版中考专题：相似（一）1.已知，如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AC、BC上的点，连DE，且3ACBCDCEC，2tan2B；（1）如图2，将△CDE绕C点旋转，连AD、BE交于H，求证：AD⊥BE；（2）如图3，当△CDE绕C点旋转过程中，当5CH时，求2AH﹣BH的值；（3）若CD＝1，当△CDE绕C点旋转过程中，直接写出AH的最大值是．【解答】（1）证明：如图2中，设BE交AC于O．∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠ECB，ACBCDCEC，ACCDBCCE，∴△ACD∽△BCE，∴∠DAC＝∠EBC，∵∠AOH＝∠BOC，∴∠AHO＝∠BCO＝90°，∴AD⊥BE．（2）解：如图2中，在HB上取一点T，使得HT＝AH，连接AT．在Rt△AHT中，2tan2AHATHHT，2tan2ABC，∴∠ATH＝∠ABC，∵∠ATH+∠HAT＝90°，∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠HAT＝∠CAB，∴∠CAH＝∠BAT，∴△AHT∽△ACB，ATAHABAC，AHACATAB，∴△CAH∽△BAT，∴CHAHBTAT，2HTAH，设AHm，则2HTm，3ATm，53mBTm，15BT．（3）解：如图3中，在Rt△AHB中，∵AH＝AB•sin∠ABH，∴当∠ABH最大时，AH的值最大，此时CE⊥BE，∵∠DCE＝∠CEH＝∠EHD＝90°，∴此时四边形ECDH是矩形，∴DH＝EC，∠ADC＝∠CDH＝90°，由题意CD＝1，，2EC，3AC，2DHCE在RtACD中，22312ADACCD，2222AHADDH，AH的最大值为22．2020·九年级·中考·专题·教师版2.在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α（0°＜α＜180°）．点P是平面内不与A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，CP．点M是AB的中点，点N是AD的中点．（1）如图1，当α＝60°时，PCMN的值是，直线MN与直线PC相交所成的较小角的度数是．（2）如图2，当α＝120°时，请写出的PCMN值及直线MN与直线PC相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）如图3，当α＝90°时，若点E是CB的中点，点P在直线ME上，请直接写出点B，P，D在同一条直线上时MNPD的值．【解答】（1）如图1中，连接PC，BD，延长BD交PC于K，交AC于G．∵CA＝CB，∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝∠PAD＝60°，AC＝AB，∴∠PAC＝∠DAB，∵AP＝AD，∴△PAC≌△DAB（SAS），∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，∵AN＝ND，AM＝BM，∴BD＝2MN，∴PCMN＝21．∵∠CGK＝∠BGA，∠GCK＝∠GBA，∴∠CKG＝∠BAG＝60°，∴BK与PC的较小的夹角为60°，∵MN∥BK，∴MN与PC较小的夹角为60°．（2）如图设MN交AC于F，延长MN交PC于E．∵CA＝CB，PA＝PD，∠APD＝∠ACB＝120°，∴△PAD∽△CAB，∴ABADACAP，∵AM＝MB，AN＝ND，∴AMANACAP，∴△ACP∽△AMN，∴∠ACP＝∠AMN，PCMN＝23ACAM∵∠CFE＝∠AFM，∴∠FEC＝∠FAM＝30°．（3）设MN＝a，∵PCMN＝22ACAM，∴PC＝2a，∵ME是△ABC的中位线，∠ACB＝90°，∴ME是线段BC的中垂线，∴PB＝PC＝2a，∵MN是△ADB的中位线，∴DB＝2MN＝2a，如图3﹣1中，当点P在线段BD上时，PD＝DB﹣PB＝（2﹣2）a，∴MNPD＝2﹣2．如图3﹣2中，PD＝DB+PB＝（2+2）a，∴MNPD＝2+2．2020·九年级·中考·专题·教师版3.在△ABC中，∠ABC＝120°，线段AC绕点C顺时针旋转60°得到线段CD，连接BD．（1）如图1，若AB＝BC，求证：BD平分∠ABC；（2）如图2，若AB＝2BC，①求ACBD的值；②连接AD，当S△ABC＝23时，直接写出四边形ABCD的面积为．【解答】（1）证明：连接AD，由题意知，∠ACD＝60°，CA＝CD，∴△ACD是等边三角形，∴CD＝AD，又∵AB＝CB，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠CBD＝∠ABD，∴BD平分∠ABC；（2）解：①连接AD，作等边三角形ACD的外接圆⊙O，∵∠ADC＝60°，∠ABC＝120°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴点B在⊙O上，∵AD＝CD，∴⁔AB=⁔CD，∴∠CBD＝∠CAD＝60°，在BD上截取BM，使BM＝BC，则△BCM为等边三角形，∴∠CMB＝60°，∴∠CMD＝120°＝∠CBA，又∵CB＝CM，∠BAC＝∠BDC，∴△CBA≌△CMD（AAS），∴MD＝AB，设BC＝BM＝1，则AB＝MD＝2，∴BD＝3，过点C作CN⊥BD于N，在Rt△BCN中，∠CBN＝60°，∴∠BCN＝30°，∴BN＝21BC＝21，CN＝23BC＝23，∴ND＝BD﹣BN＝25，在Rt△CND中，CD＝722DNCD，∴AC＝7，∴773ACBD;②如图3，分别过点B，D作AC的垂线，垂足分别为H，Q，设CB＝1，AB＝2，CH＝x，则由①知，AC＝7，AH＝7﹣x，在Rt△BCH与Rt△BAH中，BC2﹣CH2＝AB2﹣AH2，即1﹣x2＝22﹣（7﹣x）2，解得，x＝772，∴BH＝721,在Rt△ADQ中，DQ＝23AD＝23×7＝221，∴72DQBH∵AC为△ABC与△ACD的公共底，∴72DQBHSSACDABC，∵S△ABC＝23，∴S△ACD＝437，∴S四边形ABCD＝23+437＝439，2020·九年级·中考·专题·教师版4.（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AP、BP分别平分∠CAB、∠CBA，过点P作DE∥AB交AC于点D，交BC于点E．①求证：点P是线段DE的中点；②求证：BP2＝BE•BA．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，BP平分∠ABC，过点P作DE∥AB交AC于点D，交BC于点E，若点P为线段DE的中点，求AD的长度．【解答】（1）①证明：∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∵DE∥AB，∴∠ABP＝∠EPB，∴∠CBP＝∠EPB，∴BE＝PE，同理可证：DP＝DA，∵DE∥AB，∴CECDCBCA，∵CA＝CB，∴CE＝CD，∴BE＝AD，∴PE＝PD，∴点P是DE的中点．②证明：由①得∠ABP＝∠EBP＝∠EPB＝21∠CBA，∵AP平分∠CAB，∴∠PAB＝21∠CAB，∵CA＝CB，∴∠CBA＝∠CAB，∴∠ABP＝∠EBP＝∠EPB＝∠PAB，∴△ABP∽△PBE，∴BPBEBABP，∴BP2＝BA•BE．（2）过点P作FG∥AC交BC于F，交AB于G．在Rt△ACB中，222213125ACABBC，∵FG∥AC，∴∠PFE＝∠C＝90°，∵PD∥AG，∴四边形AGPD是平行四边形，∴PG＝AD，∵PE＝PD，PF∥CD，∴EF＝FC，∴PF＝21CD，由（1）可知BE＝EP，设AD＝PG＝x，则CD＝5﹣x，PF＝21（5﹣x），∵DE∥AB，CDCECACB，512CDCACECB，125CECD，12(5)5x，则6(5)5EFx，1212120(5)55BEEPxx，在RtEFP中，6(5)125sinsinsin1213(5)5xEFEPFEDCBACEPx，解得6537x，6537AD．2020·九年级·中考·专题·教师版5.在△ABC中，AB＝AC，点D在底边BC上，∠EDF的两边分别交AB、AC所在直线于E，F两点，∠EDF＝2∠ABC，BD＝nCD．（1）如图1，若∠ABC＝45°，n＝1，求证：DE＝DF；（2）如图2，求DEDF的值（含n的式子表示）：（3）如图3，连接EF，若tan∠B＝1，EF∥BC，且58EFBC，直接写出n的值为．【解答】（1）证明：如图1中，连接AD．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，∵BD＝nCD，n＝1，∴BD＝CD，∴AD⊥BC，∠DAC＝∠DAB＝45°，AD＝DB＝DC，∵∠EDF＝2∠ABC＝90°，∴∠BDA＝∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，∵∠B＝∠DAF，BD＝AD，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE＝DF．（2）解：在射线B上取一点T，使得DB＝DT．∵DB＝DT，∴∠B＝∠T，∴∠TDC＝∠B+∠T＝2∠B，∵∠EDF＝2∠B，∴∠EDF＝∠TDC，∴∠EDT＝∠DFC，∵∠BAC+2∠B＝180°，∴∠BAC+∠DEF＝180°，∴∠TED+∠AFD＝180°，∵∠DFC+∠AFD＝180°，∴∠TED＝∠DFC，∴△TED∽△FDC，∴DEDTDBnDFDCCD．（3）如图3中，作ET⊥BC于E，FH⊥BC于H．∵EF∥BC，ET∥FH，∴四边形EFHT是平行四边形，∵∠ETH＝90°，∴四边形EFHT是矩形，∴ET＝FH，EF＝TH，∵EF：BC＝5：8，设EF＝5k，BC＝8k，则TH＝5k，∵tanB＝1，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠ETB＝∠FHC＝90°，∴ET＝BT＝FH＝CH＝1.5k，设DT＝x，则DH＝5K﹣x，∵∠EDF＝2∠B＝90°，∠ETD＝∠FHD＝90°，∴∠EDT+∠FDH＝90°，∠TED+∠EDT＝90°，∴∠TED＝∠FDH，∴△ETD∽△DHF，∴ETDTDHFH，∴1.551.5kxkxk，∴x2﹣5kx+2.25k2，解得x＝0.5k或4.5k，∴BD＝2k或6k，∴BD：DC＝2k：6k＝1：3或BD：DC＝6k：2k＝3：1．∴n＝3或．2020·九年级·中考·专题·教师版6.已知：在▱ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，且∠ECF＝∠B＝α（0°＜α＜90°）（1）如图1，若CF⊥AD，求证：CECBCFCD；（2）如图2，若α＝60°，∠AEF＝∠ECB，求证：四边形ABCD是菱形；（3）如图3，若α＝45°，AC⊥EF，EH⊥BC于点H，34CEAD，直接写出AECH的值．【解答】（1）证明：如图1中，∵在▱ABCD中，∠B＝∠D，∵∠ECF＝∠B＝α，∴∠D＝∠ECF＝α，∵CF⊥AD，∴∠D+∠DCF＝90°，∴∠ECF+∠DCF＝90°，∴EC⊥CD，∵AB∥CD，∴CE⊥AB，∴∠BEC＝∠CFD＝90°，∴∠BCE∽△DCF，∴CECBCFCD；（2）证明：如图2中，连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠B＝60°，∴∠BAC＝120°，∵∠ECF＝60°，∴∠EAF+∠ECF＝180°，∴A，E，C，F四点共圆，∴∠AEF＝∠ACF，∵∠AEF＝∠BCE，∴∠ACF＝∠BCE，∴∠ACB＝∠ECF＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（3）解：∵∠ECF＝∠B＝45°，∵34CEAD，∴设CE＝3m，BC＝AD＝4m，过C作CI⊥BC交BA的延长线于I，交AD于K，交EF于J，延长HE交DA的延长线于L，则CI＝BC＝4m，作JM⊥LH于M，交BI于R，连接AJ，∵∠ECF＝∠B＝45°，∴∠EAF＝135°，∴C，E，A，F四点共圆，∴∠CEF＝∠FAC，∵AC⊥EF，∴∠EJC＝∠CAF，∴∠CEJ＝∠EJC，∴CE＝CJ，∴AC垂直平分EJ，∴AE＝AJ，设BH＝EH＝n，CH＝4m﹣n，在Rt△CHE中，EH2+CH2＝CE2，∴n2+（4m﹣n）2＝（3m）2，解得422nm，（取422nm时，结论一样），4242KLCHmnm，4222322MEMHHECJEHmmm