中考数学考点讲解：图形的对称

第26讲图形的平移、对称、旋转与位似第1课时图形的对称知识点1图形的轴对称与中心对称的识别1．下列图形中，是轴对称图形的是(B)2．下列图形是中心对称图形的是(C)3．下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是(A)知识点2轴对称的相关计算4．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是(B)A．AM＝BMB．AP＝BNC．∠MAP＝∠MBPD．∠ANM＝∠BNM第4题图第5题图5．如图所示，P为∠AOB内一点，P1，P2分别是点P关于OA，OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝8cm，则△PMN的周长是(C)A．7cmB．5cmC．8cmD．10cm知识点3与对称有关的作图6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－1)，B(3，－3)，C(0，－4)．(1)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2.解：(1)△A1B1C1如图所示．(2)△A2B2C2如图所示．知识点4图形的折叠7．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为(B)A．2B.3C.2D．1第7题图第8题图知识点5利用轴对称求最短路径8．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为(0，4)，点E的坐标为(3，2)，点D是x轴上的一个动点，当CD＋DE的长最小时，点D的坐标为(2，0)．重难点1轴对称图形与中心对称图形的识别(2017·黄石)下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(D)【变式训练1】(2017·烟台)下列国旗图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是(A)【变式训练2】(2017·潍坊)小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用(－1，0)表示，右下角方子的位置用(0，－1)表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是(B)A．(－2，1)B．(－1，1)C．(1，－2)D．(－1，－2)方法指导1．轴对称图形的判断方法：寻找对称轴，使图形按照某条直线折叠后两部分重合．2．中心对称图形的判断方法：(1)将图形倒过来，看是否与原来的图形完全一致；(2)先找对称中心，连接两对应点，看对称中心是不是两对应点连线的中点．重难点2轴对称(折叠)的有关计算与证明(1)(2017·宜宾)如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是(C)A．3B.245C．5D.8916第(1)题图第(2)题图(2)(2017·宁夏)如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A′处．若∠1＝∠2＝50°，则∠A′为105°．【变式训练3】(2017·嘉兴改编)一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按所给图步骤折叠纸片，则∠A′DE＝45°，线段DG长为2．,方法指导1．图形的轴对称(折叠)变换属于全等变换，在解题时应充分运用其性质解题．2．折叠中求线段长一般需要构造(找寻)直角三角形，利用勾股定理计算未知线段长．重难点3利用轴对称求最短路径问题如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1.若D为AC边的中点，E是AB边上一动点，则CE＋DE的最小值为72．【变式训练4】(2015·营口)如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是(B)A．25°B．30°C．35°D．40°变式训练4图变式训练5图【变式训练5】(2017·安顺)如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为6．,方法指导在几何图形中求两条线段之和的最小值，通常根据轴对称的性质和两点之间线段最短，将两条线段的长转化为一条线段的长，然后计算这条线段的长，即两条线段之和的最小值．1．(2017·深圳)观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(D)2．(2017·日照)剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是(A)3．(2017·呼和浩特)如图中序号(1)(2)(3)(4)对应的四个三角形，都是△ABC这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是(A)A．(1)B．(2)C．(3)D．(4)4．(2017·河北)图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是(C)A．①B．②C．③D．④第4题图第5题图5．(2017·山西)如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E.若∠1＝35°，则∠2的度数为(A)A．20°B．30°C．35°D．55°6．(2017·天水)如图所示，在矩形ABCD中，∠DAC＝65°，点E是CD上一点，BE交AC于点F，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处，则∠AFC′＝40°．7．(2017·咸宁)如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点B恰好与点O重合，若BE＝3，则折痕AE的长为6．第7题图第8题图8．(2017·广西四市同城)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝2，BD＝23，将菱形按如图方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为7．9．(2017·广安)在4×4的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在下图中画出你的4种方案．(每个4×4的方格内限画一种)要求：①5个小正方形必须相连；(有公共边或公共顶点则视为相连)②将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形．(若两个方案的图形经过翻折、平移、旋转后能够重合，均视为一种方案)解：略．10．(2017·菏泽)如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为(－4，5)，D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是(B)A．(0，43)B．(0，53)C．(0，2)D．(0，103)第10题图第11题图11．(2017·滨州)如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F.若AD＝8，AB＝6，AE＝4，则△EBF周长的大小为8．12．(2017·潍坊)如图，将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD上，记为B′，折痕为CE；再将CD边斜向下对折，使点D落在B′C上，记为D′，折痕为CG，B′D′＝2，BE＝13BC.则矩形纸片ABCD的面积为15．提示：由折叠可知BC＝B′C，CD＝CD′，又B′D′＝2，故设BC＝x，则CD＝x－2，EB′＝BE＝13x，∴AE＝AB－BE＝23x－2.由∠EB′C＝∠B＝90°，易证△CDB′∽△B′AE.∴CD∶B′A＝B′C∶EB′＝3∶1.∴B′A＝x－23.在Rt△B′AE中，由勾股定理，得(x－23)2＋(23x－2)2＝(13x)2，整理，得x2－7x＋10＝0，解得x1＝5，x2＝2(不合题意，舍去)．故矩形纸片ABCD的面积为BC·CD＝5×3＝15.13．(2017·眉山)在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1.格点三角形ABC(顶点是网格线交点的三角形)的顶点A，C的坐标分别是(－4，6)，(－1，4)．(1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；(2)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(3)请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并写出点P的坐标．解：(1)如图．(2)如图．(3)作点B1关于y轴的对称点B2，连接B2C交y轴于点P，点P即为所求．点P的坐标为(0，2)．