中考数学试题分类解析汇编专题：二次函数的图象和性质

2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题21：二次函数的图象和性质一、选择题1.（2012重庆市4分）已知二次函数)0(2acbxaxy的图象如图所示对称轴为21x。下列结论中，正确的是【】A．0abcB．0abC．20bcD．42acb【答案】D。【考点】二次函数图象与系数的关系。【分析】A、∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0。∵二次函数的图象与y轴交于负半轴，∴c＜0。∵二次函数的图象对称轴在y轴左侧，∴﹣2ba＜0。∴b＞0。∴0abc。故本选项错误。B、∵二次函数的图象对称轴：122bxa，∴ab，0ab。故本选项错误。C、从图象可知，当0x时，20yabcbc。故本选项错误。D、∵二次函数的图象对称轴为12x，与x轴的一个交点的取值范围为x1＞1，∴二次函数的图象与x轴的另一个交点的取值范围为x2＜﹣2。∴当2x时，420yabc，即42acb。故本选项正确。故选D。2.（2012浙江衢州3分）已知二次函数y=﹣x2﹣7x+，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是【】A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y1【答案】A。【考点】二次函数图象上点的坐标特征。【分析】根据x1、x2、x3与对称轴的大小关系，判断y1、y2、y3的大小关系：∵二次函数2115yx7x22，∴此函数的对称轴为：b7x===712a22。∵7＜0＜x1＜x2＜x3，三点都在对称轴右侧，a＜0，∴对称轴右侧y随x的增大而减小。∴y1＞y2＞y3。故选A。3.（2012浙江义乌3分）如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是或．其中正确的是【】A．①②B．①④C．②③D．③④【答案】D。【考点】二次函数的图象和性质。【分析】①∵当x＞0时，利用函数图象可以得出y2＞y1。∴此判断错误。②∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M。∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大。∴此判断错误。③∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，与y轴交点坐标为：（0，2），当x=0时，M=2，抛物线y1=﹣2x2+2，最大值为2，故M大于2的x值不存在；∴此判断正确。④∵使得M=1时，若y1=﹣2x2+2=1，解得：x1=22，x2=﹣22；若y2=2x+2=1，解得：x=﹣12。由图象可得出：当x=22＞0，此时对应y1=M。∵抛物线y1=﹣2x2+2与x轴交点坐标为：（1，0），（﹣1，0），∴当﹣1＜x＜0，此时对应y2=M，∴M=1时，x=22或x=﹣12。∴此判断正确。因此正确的有：③④。故选D。4.（2012江苏常州2分）已知二次函数2y=ax2+ca0，当自变量x分别取2，3，0时，对应的值分别为123yyy，，，则123yyy，，的大小关系正确的是【】A.321yyyB.123yyyC.213yyyD.312yyy【答案】B。【考点】二次函数的图象和性质。【分析】由二次函数2y=ax2+ca0知，它的图象开口向上，对称轴为x=2，如图所示。根据二次函数的对称性，x=3和x=1时，y值相等。由于二次函数2y=ax2+ca0在对称轴x=2左侧，y随x的增大而减小，而0＜1＜2，因此，123yyy。故选B。5.（2012江苏镇江3分）关于x的二次函数y=x+1xm，其图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是【】A.m1B.1m0C.0m1D.m1【答案】D。【考点】二次函数的性质。【分析】∵2y=x+1xm=x+1mxm，∴它的对称轴为1mm1x==212。又∵对称轴在y轴的右侧，∴m10m12。故选D。5.（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有【】A．3个B．2个C．1个D．0个【答案】A。【考点】二次函数图象与系数的关系。【分析】根据图象可得：a＞0，c＞0，对称轴：bx02a。①∵它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），∴对称轴是x=1，∴b=12a。∴b+2a=0。故命题①错误。②∵a＞0，b02a，∴b＜0。又c＞0，∴abc＜0。故命题②正确。③∵b+2a=0，∴a﹣2b+4c=a+2b﹣4b+4c=﹣4b+4c。∵a﹣b+c=0，∴4a﹣4b+4c=0。∴﹣4b+4c=﹣4a。∵a＞0，∴a﹣2b+4c=﹣4b+4c=﹣4a＜0。故命题③正确。④根据图示知，当x=4时，y＞0，∴16a+4b+c＞0。由①知，b=﹣2a，∴8a+c＞0。故命题④正确。∴正确的命题为：①②③三个。故选A。6.（2012湖北宜昌3分）已知抛物线y=ax2﹣2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是【】A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【答案】D。【考点】抛物线与x轴的交点与对应的一元二次方程的解之间的关系，二次函数的性质。1419956【分析】∵抛物线y=ax2﹣2x+1与x轴没有交点，∴△=4﹣4a＜0，解得：a＞1。∴抛物线的开口向上。又∵b=﹣2，∴抛物线的对称轴在y轴的右侧。∴抛物线的顶点在第一象限。故选D。7.（2012湖南郴州3分）抛物线2yx12（）的顶点坐标是【】A．（－1，2）B．（－1，－2）C．（1，－2）D．（1，2）【答案】D。【考点】二次函数的性质。【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标：∵顶点式y=a（x－h）2＋k，顶点坐标是（h，k），∴抛物线2yx12（）的顶点坐标是（1，2）。故选D。8.（2012湖南衡阳3分）如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0②2a+b=0③a+b+c＞0④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为【】A．1B．2C．3D．4【答案】C。【考点】二次函数图象与系数的关系。【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x=1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断﹣1＜x＜3时，y的符号：①∵图象开口向下，∴a＜0。说法错误。②∵对称轴为x=1+3=12，∴b=12a，即2a+b=0。说法正确。③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0。说法正确。④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0。说法正确。∴说法正确的有3个。故选C。9.（2012湖南株洲3分）如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是【】A．（﹣3，0）B．（﹣2，0）C．x=﹣3D．x=﹣2【答案】A。【考点】抛物线与x轴的交点，二次函数的对称性。【分析】设抛物线与x轴的另一个交点为B（b，0），∵抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1，∴1+b2=﹣1，解得b=﹣3。∴B（﹣3，0）。故选A。10.（2012四川乐山3分）二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t值的变化范围是【】A．0＜t＜1B．0＜t＜2C．1＜t＜2D．﹣1＜t＜1【答案】B。【考点】二次函数图象与系数的关系。【分析】∵二次函数y=ax2+bx+1的顶点在第一象限，且经过点（﹣1，0），∴a﹣b+1=0，a＜0，b＞0，∵由a=b﹣1＜0得b＜1，∴0＜b＜1①，∵由b=a+1＞0得a＞﹣1，∴﹣1＜a＜0②。∴由①②得：﹣1＜a+b＜1。∴0＜a+b+1＜2，即0＜t＜2。故选B。11.（2012四川广元3分）若二次函数22yaxbxa2（a，b为常数）的图象如图，则a的值为【】A.1B.2C.2D.-2【答案】C。【考点】二次函数图象上点的坐标特征【分析】由图可知，函数图象开口向下，∴a＜0，又∵函数图象经过坐标原点（0，0），∴a2－2=0，解得a1=2（舍去），a2=－2。故选C。12.（2012四川德阳3分）设二次函数2yxbxc，当x1时，总有y0，当1x3时，总有y0，那么c的取值范围是【】A.c3B.c3C.1c3D.c3【答案】B。【考点】二次函数的性质。【分析】∵当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，∴当x=1时，y=0，即1+b+c=0①。∵当1≤x≤3时，总有y≤0，∴当x=3时，y=9+3b+c≤0②。①②联立解得：c≥3。故选B。13.（2012四川巴中3分）对于二次函数y2(x1)(x3)，下列说法正确的是【】A.图象的开口向下B.当x1时，y随x的增大而减小C.当x1时，y随x的增大而减小D.图象的对称轴是直线x=－1【答案】C。【考点】二次函数的性质。【分析】把二次函数化为顶点式的形式，根据二次函数的性质进行解答：二次函数22y2(x1)(x3)2x4x62(x1)8，A、∵此二次函数中a=2＞0，∴抛物线开口向上，故本选项错误；B、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故本选项错误；C、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，故本选项正确；D、由二次函数的解析式可知抛物线对称轴为x=1，故本选项错误。故选C。14.（2012辽宁鞍山3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B坐标（﹣1，0），下面的四个结论：①OA=3；②a+b+c＜0；③ac＞0；④b2﹣4ac＞0．其中正确的结论是【】A．①④B．①③C．②④D．①②15.（2012山东滨州3分）抛物线234yxx与坐标轴的交点个数是【】A．3B．2C．1D．0【答案】A。【考点】抛物线与x轴的交点，解一元一次、二次方程。【分析】∵抛物线解析式2=34yxx，令=0x，解得：=4y，∴抛物线与y轴的交点为（0，4），令=0y，得到22124340340(34)(1)013xxxxxxxx，，∴抛物线与x轴的交点分别为（43，0），（1，0）。综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3。故选A。16.（2012山东济南3分）如图，二次函数的图象经过（－2，－1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是【】A．y的最大值小于0B．当x=0时，y的值大于1C．当x=－1时，y的值大于1D．当x=－3时，y的值小于0【答案】D。【考点】二次函数的图象和性质。【分析】根据图象的对称轴的位置、增减性及开口方向直接作答：由图象知，A、点（1，1）在图象的对称轴的左边，所以y的最大值大于1，不小于0；故本选项错误；B、当x=0时，y的值就是函数图象与y轴的交点，而图象与y轴的交点在（1，1）点的左边，故y＜1，故本选项错误；C、对称轴在（1，1）的右边，在对称轴的左边y随x的增大而增大，∵－1＜1，∴x=－1时，y的值小于x=1时，y的值1，即当x=－1时，y的值小于1；故本选项错误；D、当x=－3时，函数图象上的点在点（－2，－1）的左边，所以y的值小于0